差分
このページの2つのバージョン間の差分を表示します。
両方とも前のリビジョン前のリビジョン次のリビジョン | 前のリビジョン最新のリビジョン両方とも次のリビジョン | ||
markov_process [2018/12/12 00:40] – watalu | markov_process [2018/12/12 07:44] – watalu | ||
---|---|---|---|
行 20: | 行 20: | ||
なお、互いに独立な確率変数の列もマルコフ性は満たす。 | なお、互いに独立な確率変数の列もマルコフ性は満たす。 | ||
+ | |||
+ | マルコフ過程に関する簡単なことは[[http:// | ||
+ | |||
+ | === 状態の分類 === | ||
+ | |||
+ | P[i, | ||
+ | |||
+ | === チャップマン・コルモゴロフ方程式 === | ||
+ | |||
+ | === 停止時刻 === | ||
+ | |||
+ | === 再帰的 === | ||
+ | |||
+ | === 収束定理 === | ||
+ | |||
+ | === 定常分布 === | ||
==== マルコフ連鎖の例 ==== | ==== マルコフ連鎖の例 ==== | ||
- | | |カバー|目次|第1章|第2章|第3章|第4章|第5章|第6章|付録|索引|閉じる| | + | 本に目を通す、というマルコフ連鎖を考える。 |
- | |カバー|0.2|0.7|0|0|0|0|0|0|0|0|0.1| | + | まずは本を手にとって、カバーを見る。 |
- | |目次|0|0.4|0.6|0|0|0|0|0|0|0|0.1| | + | カバーを見た時点の次には、確率20%(0.2)でカバーを見続けるか、確率70%(0.7)で目次に目を移すか、 |
- | |第1章| | |0.5| | | | | | |0.1|0.1| | + | あるいは確率10%(0.1)で興味を失って閉じる。 |
- | |第2章| | | |0.5| | | | | |0.1|0.1| | + | |
- | |第3章| | | | |0.5| | | | |0.1|0.1| | + | |
- | |第4章| | | | | |0.5| | | |0.1|0.1| | + | |
- | |第5章| | | | | | |0.5| | |0.1|0.1| | + | |
- | |第6章| | | | | | | |0.5| |0.1|0.3| | + | |
- | |付録| | | | | | | | |0.5|0|0.1| | + | |
- | |索引|0|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0|0.1| | + | |
- | |閉じる| | | | | | | | | | |1| | + | |
+ | 目次を開いた時点の次には、確率40%(0.4)で目次を見続けて内容を把握するか、確率50%(0.5)で第一章に進むか、 | ||
+ | あるいは確率10%(0.1)で興味を失って閉じる。 | ||
+ | |||
+ | このような目の通し方を確率表で表すと、次のようになる。 | ||
+ | |||
+ | | |カバー|目次|第1章|第2章|第3章|第4章|第5章|第6章|索引|閉じる| | ||
+ | |カバー|0.2|0.7| | | | | | | |0.1| | ||
+ | |目次| |0.4|0.5| | | | | | |0.1| | ||
+ | |第1章| | |0.5|0.3| | | | |0.1|0.1| | ||
+ | |第2章| | | |0.5|0.3| | | |0.1|0.1| | ||
+ | |第3章| | | | |0.5|0.3| | |0.1|0.1| | ||
+ | |第4章| | | | | |0.5|0.3| |0.1|0.1| | ||
+ | |第5章| | | | | | |0.5|0.3|0.1|0.1| | ||
+ | |第6章| | | | | | | |0.5|0.1|0.3| | ||
+ | |索引|0|0.2|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1|0.1| | ||
+ | |閉じる| | | | | | | | | |1| | ||
+ | |||
+ | 確率0は空欄とした。 | ||
+ | |||
+ | この行列は水平方向(行)の和が100%(確率1)になる。 | ||
+ | 各行は、ある時点でその行に居たときの、次の時点の状態の条件付き確率分布である。 | ||
+ | これを行列で表したものを状態推移確率行列といい、またマルコフ行列と呼ばれることもある。 | ||
+ | |||
+ | Rの行列として定義すると、次のようになる。 | ||
+ | < | ||
+ | P = matrix(c( | ||
+ | 0.2, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | 0, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | > P | ||
+ | [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | [10,] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | たとえばある時点で表紙にいるとは、次のベクトルで表す。 | ||
+ | < | ||
+ | x = matrix(c(1, | ||
+ | </ | ||
+ | 実行してみると、表紙に1、他の状態は0という行ベクトルが表示去れる。 | ||
+ | < | ||
+ | > x | ||
+ | [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] | ||
+ | [1,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | ||
+ | </ | ||
+ | この次の時点にいる状態の確率分布は | ||
+ | < | ||
+ | x %*% P | ||
+ | </ | ||
+ | で得られる。ここで%*%は、ベクトルとベクトル、ベクトルと行列、あるいは行列と行列の掛け算である。 | ||
+ | < | ||
+ | > x %*% P | ||
+ | [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] | ||
+ | [1,] 0.2 0.7 0 0 0 0 0 0 0 0.1 | ||
+ | </ | ||
+ | これは別名、確率ベクトルと呼ばれる。総和が1は、条件付き確率分布の全確率が1であることに符号する。 | ||
+ | |||
+ | 2時点先にいる状態の確率分布は | ||
+ | < | ||
+ | x %*% P %*% P | ||
+ | </ | ||
+ | で与えられる。 | ||
+ | < | ||
+ | > x %*% P %*% P | ||
+ | [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] | ||
+ | [1,] 0.04 0.42 0.35 0 0 0 0 0 0 0.19 | ||
+ | </ | ||
+ | マルコフ連鎖では、Pをかけた回数分だけ未来の確率分布が、簡単に得られる。この計算をチェインルールと呼ぶこともある。 | ||
+ | 本を手に取ってから10時点先は | ||
+ | < | ||
+ | round(x %*% P %*% P %*% P %*% P %*% P %*% P %*% P %*% P %*% P %*% P,3) | ||
+ | | ||
+ | [1,] 0 0.015 0.034 0.051 0.063 0.059 0.042 0.028 0.036 0.673 | ||
+ | </ | ||
+ | となる。時点の間隔が1時間ならば、10時間後には読み終えているか、飽きるかして、67.3%の確率で本を閉じている。 | ||
==== markovchain ==== | ==== markovchain ==== | ||
行 45: | 行 146: | ||
[[r: | [[r: | ||
+ | ==== msm ==== | ||
+ | |||
+ | パネルデータのための多状態モデル。 | ||
+ | |||
+ | ==== mcmcR ==== | ||
+ | |||
+ | モンテカルロマルコフ連鎖。 | ||
+ | |||
+ | ==== hmm ==== | ||
+ | |||
+ | 共変量を持つ隠れマルコフモデル。 | ||
+ | |||
+ | ==== mstate ==== | ||
+ | |||
+ | 生存解析のためのマルコフ連鎖の上の多状態モデルの推定。 | ||