差分
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prob:2011 [2011/05/12 14:34] – watalu | prob:2011 [2011/08/04 12:56] – [#16 2011.07.28] watalu | ||
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行 1: | 行 1: | ||
===== 確率論 ===== | ===== 確率論 ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== 授業計画 ==== | ||
+ | |||
+ | ^回^テーマ^トピック^予定日^実施日^レポート課題^ | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |< | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
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+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |# | ||
+ | |||
==== #1 2011.04.07 ==== | ==== #1 2011.04.07 ==== | ||
行 13: | 行 36: | ||
==== #3 2011.04.21 ==== | ==== #3 2011.04.21 ==== | ||
- | * 条件付き確率 | + | * 条件付き確率 |
- | * 独立性 | + | * 独立性 |
* ベイズの定理 | * ベイズの定理 | ||
* 確率変数 | * 確率変数 | ||
行 21: | 行 44: | ||
==== #4 2011.04.28 ==== | ==== #4 2011.04.28 ==== | ||
- | [[http:// | + | [[http:// |
- | * 確率変数 | + | * 確率変数 |
- | * 確率分布 | + | * 確率分布 |
- | * 累積分布関数 | + | * 累積分布関数 |
- | * 確率関数 | + | * 確率関数 |
- | * 確率密度関数 | + | * 確率密度関数 |
- | * スティルチェス積分(いちおし!) | + | * スティルチェス積分 |
==== #5 2011.05.12 ==== | ==== #5 2011.05.12 ==== | ||
行 38: | 行 61: | ||
* モーメント | * モーメント | ||
* 線形変換の平均と分散 | * 線形変換の平均と分散 | ||
+ | |||
+ | ==== #6 2011.05.19 ==== | ||
+ | |||
+ | * ラプラス変換 | ||
+ | * モーメント母関数 | ||
+ | |||
+ | ==== #7 2011.05.26 ==== | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | * ベルヌーイ分布 | ||
+ | * 二項分布 | ||
+ | |||
+ | 木曜日に配布した[[http:// | ||
+ | 正しくは | ||
+ | < | ||
+ | Pr\left[X=0\right]=0.1, | ||
+ | </ | ||
+ | です。この訂正、土曜日以降、掲示もします。ご免なさい。 | ||
+ | |||
+ | ==== #8 ==== | ||
+ | |||
+ | ==== #9 ==== | ||
+ | |||
+ | ==== #10 ==== | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== #11 ==== | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | * 2次元連続確率変数の | ||
+ | * 同時累積分布関数と同時密度関数 | ||
+ | * 周辺累積分布関数と周辺密度関数 | ||
+ | * 条件付き累積分布関数と条件付き密度関数 | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | B1 := plot3d(exp(-(1/ | ||
+ | B2 := plots[pointplot3d]({seq([3, | ||
+ | B3 := plots[pointplot3d]({seq([(1/ | ||
+ | A1 := plot(eval(exp(-(1/ | ||
+ | A2 := plot(eval(exp(-(1/ | ||
+ | A3 := plot(eval(exp(-(1/ | ||
+ | A4 := plot(eval(exp(-(1/ | ||
+ | plots[display]({B1, | ||
+ | plots[display]({A1, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | < | ||
+ | library(mvtnorm) | ||
+ | |||
+ | postscript(" | ||
+ | par(mfrow=c(2, | ||
+ | par(cex=0.5) | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | |||
+ | postscript(" | ||
+ | par(mfrow=c(2, | ||
+ | par(cex=0.5) | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | plot(rmvnorm(n=3000, | ||
+ | main =" | ||
+ | graphics.off() | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ==== #12 ==== | ||
+ | |||
+ | * 同時分布と条件付き分布と周辺分布の関係 | ||
+ | * 期待値ベクトル | ||
+ | * 分散共分散行列 | ||
+ | |||
+ | ==== #13 ==== | ||
+ | |||
+ | * 二変量正規分布 | ||
+ | * 期待値ベクトル | ||
+ | * 分散共分散行列 | ||
+ | * 相関係数 | ||
+ | * 条件付き分布 | ||
+ | * 周辺分布 | ||
+ | |||
+ | ==== #14 2011.07.14 ==== | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | * マルコフの不等式 | ||
+ | * チェビシェフの不等式 | ||
+ | * 大数の法則 | ||
+ | |||
+ | 参考書 | ||
+ | |||
+ | * 宮川雅巳(1998)「統計技法」, | ||
+ | |||
+ | === 課題4への補足 === | ||
+ | == 離散分布の共分散と相関係数 == | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | < | ||
+ | E\left[X_1\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 p_1\left(x_1\right) | ||
+ | </ | ||
+ | と | ||
+ | < | ||
+ | E\left[X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 p_2\left(x_2\right) | ||
+ | </ | ||
+ | と | ||
+ | < | ||
+ | E\left[X_1X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 x_2 p\left(x_1, x_2\right) | ||
+ | </ | ||
+ | から、今回の参考書からの出題で証明させられる | ||
+ | < | ||
+ | Cov\left[X_1, | ||
+ | </ | ||
+ | から共分散を求めることができる。 | ||
+ | |||
+ | 相関係数を計算するにも、 | ||
+ | < | ||
+ | E\left[X_1^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 p_1\left(x_1\right) | ||
+ | </ | ||
+ | と | ||
+ | < | ||
+ | E\left[X_2^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 p_2\left(x_2\right) | ||
+ | </ | ||
+ | を用いて、周辺分散を | ||
+ | < | ||
+ | V\left[X_1\right] = E\left[X_1^2\right]-\left\{E\left[X_1\right]\right\}^2 | ||
+ | </ | ||
+ | と | ||
+ | < | ||
+ | V\left[X_2\right] = E\left[X_2^2\right]-\left\{E\left[X_2\right]\right\}^2 | ||
+ | </ | ||
+ | のように求め、これらと先に求めた共分散とを合わせて、 | ||
+ | < | ||
+ | \rho\left[X_1, | ||
+ | </ | ||
+ | を得る。この手順が一番、計算間違いしにくいんじゃないかと思う。 | ||
+ | |||
+ | == 条件付き期待値 == | ||
+ | |||
+ | 定数としての条件付き期待値と確率変数としての条件付き期待値の区別。< | ||
+ | < | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | E\left[\phi\left(X_2\right)|X_1=x_1\right]=E_{X_2|X_1}\left[\phi\left(X_2\right)|X_1=x_1\right]=\int_{x_2\in\Omega_2} \phi\left(v\right)dF_{X_2|X_1}\left(v|x_1\right) | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | 最後の積分は、連続分布の場合には、 | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | \int_{x_2\in\Omega_2} \phi\left(v\right)f_{X_2|X_1}\left(v|x_1\right)dv = \int_{x_2\in\Omega_2} \phi\left(v\right) \frac{f_{X_1, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | と書ける。離散分布の場合にも同様に、総和記号と条件付き確率の公式(あるいはベイズの定理)を用いて、表せる。いずれにせよ、右辺に大文字は残らないので、これは定数。これを | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | \mu_\phi\left(x_1\right)=E\left[\phi\left(X_2\right)|X_1=x_1\right] | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | と置く。 | ||
+ | |||
+ | 次に、 | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | E\left[\phi\left(X_2\right)|X_1\right] | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | の方だが、手続きとしてはまず、上の< | ||
+ | これはすなわち、< | ||
+ | |||
+ | ==== #15 2011.07.21 ==== | ||
+ | |||
+ | * 中心極限定理 | ||
+ | * レポート一斉返却 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 参考書: | ||
+ | * 清水良一(1976)「中心極限定理」, | ||
+ | * 竹内啓(1975)「確率分布の近似」, | ||
+ | * 竹内啓(1974)「統計的推定の漸近理論」, | ||
+ | * D. Williams(1991, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== #16 2011.07.28 ==== | ||
+ | |||
+ | 16回目なので休講。 | ||
+ | 期末試験が16週目になる。 | ||
+ | |||
+ | ==== #Exam 2011.08.04 ==== | ||
+ | |||
+ | 期末試験 | ||
+ | |||
+ | |日時|2011.08.04 0240pm-0410pm| | ||
+ | |場所|C-301| | ||
+ | |||
+ | ルール | ||
+ | |||
+ | * 通信機能を持たない電卓の持ち込みは可とする | ||
+ | * 出席をとるので学生証を持参のこと | ||
+ | * 退室の願い出は、試験開始の30分後から許可する | ||
+ | |||
+ | お願いごと | ||
+ | |||
+ | * 回答用紙は、可能な限り1ページ単位で使用してほしい | ||