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prob:2011 [2011/08/02 11:34] – [課題4への補足] watalu | prob:2011 [不明な日付] (現在) – 外部編集 (不明な日付) 127.0.0.1 | ||
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行 162: | 行 162: | ||
==== #14 2011.07.14 ==== | ==== #14 2011.07.14 ==== | ||
- | [[http:// | + | [[http:// |
* マルコフの不等式 | * マルコフの不等式 | ||
行 179: | 行 179: | ||
E\left[X_1\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 p_1\left(x_1\right) | E\left[X_1\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 p_1\left(x_1\right) | ||
</ | </ | ||
+ | と | ||
< | < | ||
E\left[X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 p_2\left(x_2\right) | E\left[X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 p_2\left(x_2\right) | ||
</ | </ | ||
+ | と | ||
< | < | ||
E\left[X_1X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 x_2 p\left(x_1, x_2\right) | E\left[X_1X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 x_2 p\left(x_1, x_2\right) | ||
</ | </ | ||
- | から | + | から、今回の参考書からの出題で証明させられる |
< | < | ||
Cov\left[X_1, | Cov\left[X_1, | ||
</ | </ | ||
- | が求まり、 | + | から共分散を求めることができる。 |
+ | |||
+ | 相関係数を計算するにも、 | ||
< | < | ||
E\left[X_1^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 p_1\left(x_1\right) | E\left[X_1^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 p_1\left(x_1\right) | ||
</ | </ | ||
+ | と | ||
< | < | ||
E\left[X_2^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 p_2\left(x_2\right) | E\left[X_2^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 p_2\left(x_2\right) | ||
</ | </ | ||
- | + | を用いて、周辺分散を | |
- | を用いた | + | |
< | < | ||
V\left[X_1\right] = E\left[X_1^2\right]-\left\{E\left[X_1\right]\right\}^2 | V\left[X_1\right] = E\left[X_1^2\right]-\left\{E\left[X_1\right]\right\}^2 | ||
</ | </ | ||
+ | と | ||
< | < | ||
V\left[X_2\right] = E\left[X_2^2\right]-\left\{E\left[X_2\right]\right\}^2 | V\left[X_2\right] = E\left[X_2^2\right]-\left\{E\left[X_2\right]\right\}^2 | ||
</ | </ | ||
- | + | のように求め、これらと先に求めた共分散とを合わせて、 | |
- | と合わせて、 | + | |
< | < | ||
\rho\left[X_1, | \rho\left[X_1, | ||
</ | </ | ||
- | + | を得る。この手順が一番、計算間違いしにくいんじゃないかと思う。 | |
- | も計算できる。この手順が一番、計算間違いしにくいんじゃないかと思う。 | + | |
== 条件付き期待値 == | == 条件付き期待値 == | ||
行 236: | 行 236: | ||
</ | </ | ||
- | と置く。次に、 | + | と置く。 |
+ | |||
+ | 次に、 | ||
< | < | ||
行 242: | 行 244: | ||
</ | </ | ||
- | を考えると、< | + | の方だが、手続きとしてはまず、上の< |
- | 実際、確率変数 < | + | これはすなわち、< |
==== #15 2011.07.21 ==== | ==== #15 2011.07.21 ==== | ||
行 262: | 行 263: | ||
16回目なので休講。 | 16回目なので休講。 | ||
+ | 期末試験が16週目になる。 | ||
+ | |||
+ | ==== #Exam 2011.08.04 ==== | ||
+ | |||
+ | 期末試験: | ||
+ | |||
+ | |日時|2011.08.04 0240pm-0410pm| | ||
+ | |場所|C-301| | ||
+ | |||
+ | ルール | ||
+ | |||
+ | * 通信機能を持たない電卓の持ち込みは可とする | ||
+ | * 出席をとるので学生証を持参のこと | ||
+ | * 退室の願い出は、試験開始の30分後から許可する | ||
+ | |||
+ | お願いごと | ||
+ | |||
+ | * 回答用紙は、可能な限り1ページ単位で使用してほしい | ||
+ | |||
+ | === 試験略解 === | ||
+ | |||
+ | == 問1: ポアソン分布づくし == | ||
+ | |||
+ | 今年はポアソン分布を使って、モーメントの計算、モーメント母関数、和の分布、中心極限定理について、尋ねてみました。 | ||
+ | |||
+ | - 平均も分散も< | ||
+ | - 3次のモーメントはモーメント母関数のテイラー展開の3次の項の係数 | ||
+ | - < | ||
+ | - ポアソン分布に互いに独立に従う確率変数の和の分布はポアソン分布に従うことも、モーメント母関数の積から確認できる | ||
+ | - ポアソン分布に互いに独立に従う確率変数の和を< | ||
+ | |||
+ | == 問2: 離散分布 == | ||
+ | |||
+ | 条件付き確率に関する計算と、共分散や相関係数の計算を定式化できるかどうかを、離散分布を用いて尋ねてみました。一番、計算間違いをしにくい計算手順は、たぶん次の通り。 | ||
+ | |||
+ | - 3×5の確率表ですが、条件をつけると3×3に減り、レポート課題と同じ程度の計算量になる。しかも、< | ||
+ | - 条件付き期待値を < | ||
+ | - 条件付きの二乗の期待値や積の期待値も同様に <jsm> \mu_{1,x}= \frac{5}{4}\sum_{\left|x-y\right|\leq 1} x^2 p\left(x, | ||
+ | - 条件付き共分散が < | ||
+ | - 条件付き分散が < | ||
+ | |||
+ | 確率の値、和や積分の範囲は変わるけど、期待値やモーメントの計算手順には、条件付きも条件なしも無いので。 | ||
+ | |||
+ | == 問3: 二変量正規分布 == | ||
+ | |||
+ | 二変量正規分布の周辺分布を得るのは、ベイズの定理などから | ||
+ | < | ||
+ | f\left(x_1, x_2\right)=f_{2|1}\left(x_2|x_1\right)f_1\left(x_1\right) | ||
+ | </ | ||
+ | との分解を得れば良い。< | ||
+ | |||
+ | - 周辺分布の密度関数は < | ||
+ | - 条件付き分布の密度関数は、同時密度関数を周辺密度関数で割る、ベイズの定理をそのまま使えば良い。 | ||
+ | |||
+ | == 問4: ギリシャ文字 == | ||
+ | |||
+ | 1、2個間違えたぐらいで、大きく減点する気はありませんが、5,6個以上になると、予告してあった問題なのでさすがに。 | ||
- | ==== #Exam 2011.08.?? | + | ==== 連絡 |
- | 期末試験。 | + | * 欠席などで受け取っていない課題レポートを回収したい人は、来週の月曜日以降、西五号館6階のエレベータを降りたところに、置いておきますので、各自でどうぞ。不要でしたら、こちらで処分しておきます。(2011.08.05 01:40pm) |
+ | * 期末試験は、採点用の詳解の例を作り終えたところで、まだ採点を始めていません。(2011.08.05 01:40pm) | ||