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prob:2013 [2013/07/25 11:38] – wataluprob:2013 [2013/07/25 11:54] – [モーメントの求め方] watalu
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 {{:prob:prob-d-note-and-quizzes-20130718.pdf|第13回}}: 正規分布 {{:prob:prob-d-note-and-quizzes-20130718.pdf|第13回}}: 正規分布
  
-第14回: 各種不等式と大数の法則と中心極限定理 +{{:prob:prob-e-note-and-quizzes-20130725.pdf|第14回}}: 各種不等式と大数の法則と中心極限定理
  
 === 中間試験(4) === === 中間試験(4) ===
行 355: 行 354:
 </code> </code>
  
-=== モーメントの求め方 ===+=== 中心モーメントの求め方 ===
 == 直接計算 == == 直接計算 ==
  
行 390: 行 389:
 </jsmath> </jsmath>
  
-など。+など。また中心モーメントを求める際、期待値は自ら計算するにしても原点モーメントではなく 
 + 
 +<jsmath> 
 +E\left[X\left(X-1\right)\right] 
 +</jsmath> 
 + 
 +を求めて、 
 + 
 +<jsmath> 
 +\sigma^2=\mu_2=E\left[X\left(X-1\right)\right]+m_1-{m_1}^2 
 +</jsmath> 
 + 
 +とした方が都合が計算量が少なくなる確率分布もある。(幾何分布、ポアソン分布)
  
 == モーメント母関数からの計算 == == モーメント母関数からの計算 ==
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 となる、という定理である。 となる、という定理である。
  
 +これで求まるのは原点モーメントなので、中心モーメントを求めるのは関係式
 +
 +<jsmath>
 +\mu=\mu_1=m_1-m_1=0, \, \, \sigma^2=\mu_2=m_2-{m_1}^2, \, \, \mu_3=m_3-3m_2m_1+2{m_1}^3, \ldots
 +</jsmath>
 +
 +などを用いるのは、直接計算と同様。
 +
 +== 他の分布からの計算 ==
 +
 +モーメント母関数からも確認できる関係。
 +
 +  * 互いに独立に同一のベルヌーイ分布に従うn個の確率変数の和の分布は二項分布に従う(ベルヌーイ分布の和は二項分布)
 +  * 互いに独立に同一の幾何分布に従うn個の確率変数の和の分布は負の二項分布に従う(幾何分布の和は負の二項分布)
 +  * 互いに独立に同一の指数分布に従うn個の確率変数の和の分布はアーラン分布に従う(指数分布の和はアーラン分布)
 +  * 互いに独立に相異なる正規分布に従うn個の確率変数でも、その和の分布は正規分布に従う(正規分布の和は正規分布)
 +  * アーラン分布はガンマ分布と同等
 +  * χ2乗分布はガンマ分布と同等
 +  * 発生間隔が指数分布に従う事象の、一定期間の発生回数はポアソン分布に従う
 +
 +他にも関係はあるけど、とりあえずこれぐらい。
 +
 +  - 互いに独立な確率変数の和の期待値は、それぞれの期待値の和
 +  - 互いに独立な確率変数の和の分散は、それぞれの分散の和
  
 +はたたき込んでおくとよい。