目次

確率論

このページへの短縮URLはhttp://bit.ly/ymmtprob2012(山本確率2012の略記)。

お知らせ

担当

到達目標 (2012.06.07更新)

  1. 確率表を用いた確率計算(同時確率, 条件付確率, 周辺確率, ベイズの定理)を修得する
  2. 1変量確率モデル(確率分布)を用いた確率計算(期待値, 分散, )を修得する
  3. 多変量確率モデルの扱いを修得する(同時分布,条件付分布,周辺分布)
  4. 確率不等式(マルコフ、チェビシェフ、・・・)を習得する
  5. 2つの確率収束定理(大数の法則、中心極限定理)を理解する

中間試験では最初の2つについて、理解度を問います。

参考書・参考ドキュメント

授業計画

テーマトピック予定日実施日配付資料(レポート課題込み)実際
#01ガイダンス、確率の基礎概念(1)事象,確率2012.04.12 なし。
#02確率の基礎概念(2)事象,確率2012.04.19
#03確率の基礎概念(3)条件つき確率と独立性,ベイズの定理2012.04.26 prob-3-note-and-quiz-20110426.pdf
#04確率変数と分布関数(1)確率変数,確率分布,分布関数2012.05.10 prob-4-note-and-quiz-20120510.pdf
#05確率変数と分布関数(2)確率変数のモーメント,分散2012.05.17
#06モーメント母関数とその応用(1),離散型確率モデル(1)モーメント母関数,ベルヌーイ分布,二項分布 2012.05.24 prob-6-note-and-quiz-20120525.pdf 累積分布関数、指数分布の例、密度関数、期待値(母平均)、分散、標準偏差、指数分布を取り巻く算術、離散確率分布の確率関数、期待値、分散、二項分布
#07離散型確率モデル(2),連続型確率モデル(1)幾何分布,負の二項分布,ポアソン分布,指数分布2012.05.31 prob-7-note-and-quizes-20120531.pdf モーメント母関数、二項分布と指数分布の例、期待値の分配法則(和と定数倍)、たたみ込み
#08連続型確率モデル(1)ポアソン分布と指数分布の関係,正規分布2012.06.07 prob-8-note-and-quizes-20120607.pdf 二項分布、ガンマ分布、指数分布、ポアソン分布 (負の二項分布と幾何分布は宿題)
#09確率ベクトルと分布関数(1)確率ベクトル,同時分布,周辺分布2012.06.14 prob-9-note-and-quizes-20120614.pdf 不等式尽くし
#10中間試験 2012.06.21 prob-a-mid-term-exam-20120621-for-students.pdf 第8回までの内容
#11確率ベクトルと分布関数(2)確率変数の独立性,同時モーメント,共分散,相関係数2012.06.28 prob-b-note-and-quizzes-20120628.pdf
#12モーメント母関数とその応用(2) 2012.07.05 prob-c-note-and-quizzes-20120705-r2.pdfこれ何・・・?
#13連続型確率モデル(3)2変量正規分布2012.07.12 prob-d-note-and-quizzes-20120712-b.pdf必ず1回はかかる
#14大数の法則 2012.07.19 prob-e-note-and-quizzes-20120719.pdf大数の法則と中心極限定理はたぶん1回で終わらせる
#15中心極限定理 2012.07.26 prob-f-note-and-quizzes-20120726.pdf
#16標本分布論 2012.08.02 あ、ここは補講等調整期間だこれ、たぶんやらない
#16期末試験 2012.08.09 prob-g-final-exam-20120809.pdf

この講義に関する負担

去年の反省を踏まえて、明確にします。

メモ

#01 2012.04.12

教室が溢れて授業ができませんでした。 各人各様に月曜2限を履修できない事情があるようなので、教室の変更の検討を教務課に依頼しました。

([[http://www.soumu.go.jp/main_content/000084191.pdf|宝くじ・公営競技・サッカーくじの実効還元率]]より)

還元率
競馬:
競艇:
|競輪|払い戻し 75%, 施行自治体の収益(開催経費を含む) 20.6%, 金融公庫への納付金 1.1%, 日本自転車振興会への交付金(自転車等機械工業振興補助事業 1.6%, 体育・社会福祉等公益事業振興補助事業 1.4%, 競技の公正かつ円滑な実施を図るための事業 0.3%) 3.3% ([[http://www.city.takamatsu.kagawa.jp/file/2962_L11_keirinshikumi1.pdf|競輪のしくみ]]より)|

70%にする案が検討中

|宝くじ|当選金 46.2%, 印刷経費・売りさばき手数料など 14.7%, 都道府県及び20指定都市へ納付 39.1% [[http://www.takarakuji-official.jp/educate/about/proceeds/index.html|宝くじについて 収益金の使い道|宝くじ公式サイト]]より)|
パチンコ・パチスロ:

#02 2012.04.19

試しに教室を大きくしてみることにしました。空いている教室が、B棟の階段教室と、西9-135しかありませんでしたので、 今週は、東地区のA101ではなく、西地区の一番奥の「西九号館」という建物の1階の135という教室を使います。 恐縮ですが、東(の一番手前のA棟)から西(の一番奥の西9号館)まで5分ほどかかります。

#03 2012.04.26

#04 2012.05.10

分布関数は定義しただけなので、確率の公理を満たす確認は次回。そして、半端なところで終わったので、課題として配布したのは、次回に改めて課すつもりで、今回は無し。

#05 2012.05.17

#06 2012.05.24

以下は、今回のノートの図を作成するための、R言語のコード。

## source("prob-6-figures.r.txt") will produce the following EPS files.
# exponential-distribution-1.eps
# binomial-distribution-20-0.3-mean-stddev.eps
# exponential-distribution-1-mean-stddev.eps
# binomial-distribution-0.3.eps
# binomial-distribution-0.5.eps
# binomial-distribution-0.7.eps
# binomial-distribution-20-0.3.eps
# binomial-distribution-20-0.5.eps
# binomial-distribution-20-0.7.eps
# binomial-distribution-2-0.3.eps
# binomial-distribution-2-0.5.eps
# binomial-distribution-2-0.7.eps
# exponential-distribution.eps


## Binomial distribution

plot.binom <- function( size, prob, col="black", epsilon=0, connection=FALSE, cumulative.prob=FALSE) {
  probs <- NULL
  cprobs <- NULL
  for( k in c(0:size) ) {
    lines(c(k,k)+epsilon, c(0,dbinom(k, size=size, prob=prob)), type="l", col=col)
    probs <- append(probs, dbinom(k, size=size, prob=prob))
    cprobs <- append(cprobs, pbinom(k, size=size, prob=prob))
  }
  if( connection==TRUE ) {
    lines(c(0:size)+epsilon, probs, type="b", col=col)
  }
  if( cumulative.prob==TRUE ) {
    lines(c(0:size)+epsilon, cprobs, type="b", col=col)
  }
}

## Mean and standard error

lines.binom.12 <- function(size, prob, delta=0, epsilon=0, lty=1, lwd=1, col="black", ylim=c(0,1)) {
  lines( c(size*prob, size*prob), c(ylim[1]+delta, ylim[2]-delta), lty=lty, lwd=lwd, col=col)
  lines( c(size*prob-sqrt(size*prob*(1-prob)), size*prob+sqrt(size*prob*(1-prob))),
         c(mean(ylim), mean(ylim)), lty=lty, lwd=lwd, col=col)
}

# prob=0.5, n=c(1,3,5,10,20)
postscript("binomial-distribution-0.5.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,20), c(0,0.7), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.5")
plot.binom( size=1, prob=0.5, col="black", epsilon=0.0, connection=TRUE )
plot.binom( size=3, prob=0.5, col="red", epsilon=0.1, connection=TRUE )
plot.binom( size=5, prob=0.5, col="green", epsilon=0.2, connection=TRUE )
plot.binom( size=10, prob=0.5, col="blue", epsilon=0.3, connection=TRUE )
plot.binom( size=20, prob=0.5, col="blue", epsilon=0.4, connection=TRUE )
legend(12, 0.6, lty=1, col=c("black","red","green","blue","purple"),
       legend=c("size=1","size=3","size=5","size=10","size=20"))
lines.binom.12( size=1,  prob=0.5, ylim=c(0, 0.7), delta=0.1, col="blue", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=3,  prob=0.5, ylim=c(0-0.01, 0.7-0.01), delta=0.1, col="red", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=5,  prob=0.5, ylim=c(0-0.02, 0.7-0.02), delta=0.1, col="green", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=10, prob=0.5, ylim=c(0-0.03, 0.7-0.03), delta=0.1, col="blue", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=20, prob=0.5, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

# prob=0.3, n=c(1,3,5,10,20)
postscript("binomial-distribution-0.3.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,20), c(0,0.7), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.3")
plot.binom( size=1, prob=0.3, col="black", epsilon=0.0, connection=TRUE )
plot.binom( size=3, prob=0.3, col="red", epsilon=0.1, connection=TRUE )
plot.binom( size=5, prob=0.3, col="green", epsilon=0.2, connection=TRUE )
plot.binom( size=10, prob=0.3, col="blue", epsilon=0.3, connection=TRUE )
plot.binom( size=20, prob=0.3, col="purple", epsilon=0.4, connection=TRUE )
legend(12, 0.6, lty=1, col=c("black","red","green","blue","purple"),
       legend=c("size=1","size=3","size=5","size=10","size=20"))
lines.binom.12( size=1,  prob=0.3, ylim=c(0, 0.7), delta=0.1, col="blue", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=3,  prob=0.3, ylim=c(0-0.01, 0.7-0.01), delta=0.1, col="red", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=5,  prob=0.3, ylim=c(0-0.02, 0.7-0.02), delta=0.1, col="green", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=10, prob=0.3, ylim=c(0-0.03, 0.7-0.03), delta=0.1, col="blue", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=20, prob=0.3, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

# prob=0.7, n=c(1,3,5,10,20)
postscript("binomial-distribution-0.7.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,20), c(0,0.7), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.7")
plot.binom( size=1, prob=0.7, col="black", epsilon=0.0, connection=TRUE )
plot.binom( size=3, prob=0.7, col="red", epsilon=0.1, connection=TRUE )
plot.binom( size=5, prob=0.7, col="green", epsilon=0.2, connection=TRUE )
plot.binom( size=10, prob=0.7, col="blue", epsilon=0.3, connection=TRUE )
plot.binom( size=20, prob=0.7, col="purple", epsilon=0.4, connection=TRUE )
legend(12, 0.6, lty=1, col=c("black","red","green","blue","purple"),
       legend=c("size=1","size=3","size=5","size=10","size=20"))
lines.binom.12( size=1,  prob=0.7, ylim=c(0, 0.7), delta=0.1, col="blue", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=3,  prob=0.7, ylim=c(0-0.01, 0.7-0.01), delta=0.1, col="red", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=5,  prob=0.7, ylim=c(0-0.02, 0.7-0.02), delta=0.1, col="green", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=10, prob=0.7, ylim=c(0-0.03, 0.7-0.03), delta=0.1, col="blue", lwd=2, lty=3)
lines.binom.12( size=20, prob=0.7, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

# Cumulative probability
postscript("binomial-distribution-2-0.7.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,2), c(0,1.0), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.7, size=2")
plot.binom( size=2, prob=0.7, col="purple", epsilon=0, connection=FALSE,
         cumulative.prob=TRUE )
dev.off()

postscript("binomial-distribution-2-0.5.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,2), c(0,1.0), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.5, size=2")
plot.binom( size=2, prob=0.5, col="purple", epsilon=0, connection=FALSE,
         cumulative.prob=TRUE )
lines.binom.12( size=2, prob=0.5, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

postscript("binomial-distribution-2-0.3.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,2), c(0,1.0), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.3, size=2")
plot.binom( size=2, prob=0.3, col="purple", epsilon=0, connection=FALSE,
         cumulative.prob=TRUE )
lines.binom.12( size=2, prob=0.3, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

postscript("binomial-distribution-20-0.7.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,20), c(0,1.0), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.7, size=20")
plot.binom( size=20, prob=0.7, col="purple", epsilon=0.4, connection=FALSE,
         cumulative.prob=TRUE )
lines.binom.12( size=2, prob=0.7, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

postscript("binomial-distribution-20-0.5.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,20), c(0,1.0), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.5, size=20")
plot.binom( size=20, prob=0.5, col="purple", epsilon=0.4, connection=FALSE,
         cumulative.prob=TRUE )
lines.binom.12( size=20, prob=0.5, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

postscript("binomial-distribution-20-0.3.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,20), c(0,1.0), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.3, size=20")
plot.binom( size=20, prob=0.3, col="purple", epsilon=0.4, connection=FALSE,
         cumulative.prob=TRUE )
lines.binom.12( size=20, prob=0.3, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

postscript("binomial-distribution-20-0.3-mean-stddev.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,20), c(0,1.0), type="n", xlab="k", ylab="probability", sub="prob=0.3, size=20")
plot.binom( size=20, prob=0.3, col="purple", epsilon=0.4, connection=FALSE,
         cumulative.prob=TRUE )
lines.binom.12( size=20, prob=0.3, ylim=c(0-0.04, 0.7-0.04), delta=0.1, col="purple", lwd=2, lty=3)
dev.off()

## Exponential distribution

plot.exp <- function( rate=1, xlim=c(0, 20), tics=200, col="black", lty=1, col.cprob="black", lty.cprob=2, \
cumulative.prob=FALSE ) {
  x <- c(0:tics)/tics * (xlim[2]-xlim[1]) + xlim[1]
  dexp.func <- dexp(x, rate=rate, log=FALSE)
  pexp.func <- pexp(x, rate=rate, lower.tail=TRUE, log.p=FALSE)
  lines(x, dexp.func, col=col, lty=lty)
  lines(x, pexp.func, col=col.cprob, lty=lty.cprob)
#  print(x)
#  print(dexp.func)
}

## Mean and standard error

lines.exp.12 <- function( rate=1, delta=0, epsilon=0, lty=1, lwd=1, col="black", ylim=c(0,1)) {
  lines( c(1/rate, 1/rate), c(ylim[1]+delta, ylim[2]-delta), lty=lty, lwd=lwd, col=col)
  lines( c(1/rate-sqrt(1/rate/rate), 1/rate+sqrt(1/rate/rate)),
         c(mean(ylim), mean(ylim)), lty=lty, lwd=lwd, col=col)
}

# rate=c(0.25, 0.5, 1, 2, 4)
postscript("exponential-distribution.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,5), c(0,1.2), type="n", xlab="x", ylab="density")
plot.exp(rate=0.25, xlim=c(0,5), tics=500, col="blue")
plot.exp(rate=0.5, xlim=c(0,5), tics=500, col="purple")
plot.exp(rate=1, xlim=c(0,5), tics=500, col="black")
plot.exp(rate=2, xlim=c(0,5), tics=500, col="red")
plot.exp(rate=4, xlim=c(0,5), tics=500, col="orange")
legend(3,0.9, lty=1, col=c("blue","purple","black","red","orange"),
       legend=c("rate=1/4","rate=1/2","rate=1","rate=2","rate=4"))
lines.exp.12(rate=0.25, delta=0.2, ylim=c(0-0.08,1-0.08), lty=3, lwd=2, col="purple")
lines.exp.12(rate=0.5, delta=0.2, ylim=c(0-0.06,1-0.06), lty=3, lwd=2, col="blue")
lines.exp.12(rate=1,   delta=0.2, ylim=c(0-0.04,1-0.04), lty=3, lwd=2, col="black")
lines.exp.12(rate=2,   delta=0.2, ylim=c(0-0.02,1-0.02), lty=3, lwd=2, col="red")
lines.exp.12(rate=4,   delta=0.2, ylim=c(0     ,1     ), lty=3, lwd=2, col="orange")
dev.off()

## Step function approximation
plot.exp.approx <- function( rate=1, xlim=c(0, 20), tics=200, col="black" ) {
  x <- c(0:tics)/tics * (xlim[2]-xlim[1]) + xlim[1]
  epsilon <- 1/tics * (xlim[2]-xlim[1])  / 2
  dexp.func.mid <- dexp(x+epsilon, rate=rate, log=FALSE)
  for ( i in c(1:tics) ) {
    lines(c(x[i], x[i], x[i+1], x[i+1]), c(0, dexp.func.mid[i], dexp.func.mid[i], 0), col=col)
  }
}

postscript("exponential-distribution-1.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,5), c(0, 1.1), type="n", xlab="x", ylab="density", sub="Exp(1)")
plot.exp(rate=1, xlim=c(0,5), tics=500, col="black", lty.cprob=2, col.cprob="red", cumulative.prob=TRUE)
plot.exp.approx(rate=1, xlim=c(0,5), tics=10, col="blue")
legend(2.5, 0.6,
    lty=c(1,1,2),
    col=c("black", "blue", "red"),
    legend=c("Density", "Step approx of density", "Cumulative probability"))
dev.off()

postscript("exponential-distribution-1-mean-stddev.eps", width=8, height=4)
plot(c(0,5), c(0, 1.1), type="n", xlab="x", ylab="density", sub="Exp(1)")
plot.exp(rate=1, xlim=c(0,5), tics=500, col="black", lty.cprob=2, col.cprob="red", cumulative.prob=TRUE)
plot.exp.approx(rate=1, xlim=c(0,5), tics=10, col="blue")
legend(2.5, 0.6,
    lty=c(1,1,2),
    col=c("black", "blue", "red"),
    legend=c("Density", "Step approx of density", "Cumulative probability"))
lines.exp.12(rate=1,   ylim=c(0.6,0.8), lty=3, lwd=2, col="black")
dev.off()

#07 2012.05.31

配付資料

要はモーメント母関数尽くし。中間試験日変更のお願いをしました。

#08 2012.06.07

配付資料

幾何分布は宿題にしてしまいました。負の二項分布は幾何分布ができれば簡単だから、まあなんとか。

最近、頑張ってプリントを作ってみましたが、毎回、前回の補いと今回の補足、という内容になっており、回ごとの重複があります。 学期末までに、整理した版も作成するかもしれません。

昨年の試験についてのメモ

参考までに昨年の状況をお知らせします。

昨年は中間試験は無しとし、期末試験だけを実施しました。昨年の試験問題はprob:2011の下の方に添付してあります。 私には基礎科目の担当の場合、(計算には慣れてきてくださることを前提に)時間いっぱい忙しい感じの試験、を作る傾向があるようです。 そのような試験で、どう評価するかというと

試験問題自体も、このような観点で作成しています。 各種試験には、必要な計算や式変形には、慣れて臨むことを強くお勧めします。 急いで計算できる必要はありませんが、式変形を一から考えている時間は無さそう、という意味です。

例えば昨年の問題では、

なお、

の2点は、書き添えておきます。

#09 2012.06.14

第9回配付資料

レポート在庫のお知らせ

提出されたのに回収されてない、可哀想なレポートさんたち。

1: 1110030, 1110045

3: 1110062, 1010150, 1110039, 1010017, 1010093

4: 1010147, 1010150, 1010105, 1010078, 1110067, 1110073, 1110062, 1010149, 1110045, 1010125, 1010094, 1110012, 1010003, 1010017, 1010142, 1110021, 1110042,

6: 1110060, 1110061, 1110065, 1110066, 1110070, 1110071, 1110072, 1110074, 1110077, 1110079, 1113084, 1010105, 1110002, 1010100, 1110034, 1010150, 1010041, 1010017, 1010094, 1010127

7: 1110061, 1110063, 1110003, 1110002, 1010105, 1010041, 1010093, 1010017,

5の在庫が見つからないのは、そもそもレポート課題を出題していないため。

#10 2012.06.21

中間試験。出題意図等を説明した解説つき。解説部分を説明する予定なし。

#11 2012.06.28

prob-b-note-and-quizzes-20120628.pdf

この回出題のレポートの返却は、TAさんの都合で、一週間遅れになります。(実際には週遅れにせずに返却できました。TAさんが、この週の分だけ採点を他の人に委託しておいてくれました)

#12 2012.07.05

prob-c-note-and-quizzes-20120705.pdf (2012.07.08: 差し替え版)

参考書 p.196は標準正規分布の上側確率表。確率変数 <jsm>Z</jsm> を標準正規分布 <jsm>N\left(0,1^2\right)</jsm> に従うとすると、<jsm>Pr\left[Z\geq x\right]=\alpha</jsm>となる<jsm>\alpha</jsm>の値を探すことができる。<jsm>Pr\left[Z\geq x\right]</jsm> は累積分布関数 <jsm>F\left(x\right)=Pr\left[Z\leq x\right]</jsm>とは <jsm>Pr\left[Z\geq x\right] = 1-F\left(x\right)</jsm> の関係にあるので、累積確率を探すこともできる。 平均が <jsm>\mu</jsm> で分散が <jsm>\sigma^2</jsm> の正規分布に従う確率変数 <jsm>X</jsm> と、上の <jsm>Z</jsm> は、講義で述べたように <jsm>X \sim \sigma Z+\mu</jsm> の関係にある。 この関係は <jsm>Z \sim \left(X-\mu\right)/\sigma</jsm> とも表せる。 このことから <jsm>X</jsm> についての上側確率もしくは下側確率を計算するには、 <jsm>Z \sim \left(X-\mu\right)/\sigma</jsm> の関係を用いて <jsm>Pr\left[\cdot\right]</jsm> の中の条件を、<jsm>X</jsm>についての不等式から<jsm>Z</jsm>についての不等式に変形すればよい。

<jsmath> Pr_X\left[X\leq x\right] = Pr_Z\left[\mu+\sigma Z \leq x\right] = Pr_Z\left[\sigma Z \leq x-\mu\right] = Pr_Z\left[Z \leq \left(x-\mu\right)/\sigma\right] </jsmath>

あるいは

<jsmath> Pr_X\left[X\geq x\right] = Pr_Z\left[\mu+\sigma Z \geq x\right] = Pr_Z\left[\sigma Z \geq x-\mu\right] = Pr_Z\left[Z \geq \left(x-\mu\right)/\sigma\right] </jsmath>

など。ここで、<jsm>\sigma</jsm>は常に正であることに注意すれば、式変形の最中に不等式の向きは変わらない。

#13 2012.07.12

配付資料にはミスがあり、講義中に改訂版のように訂正をしました。 課題13-3の記述が不十分だったのと、提出日が祝日だったために1日延期したのが、主な訂正内容です。

#14 2012.07.19

#15 2012.07.26

#16 2012.08.09

期末試験を実施しました。

履修者数中間試験受験者数期末試験受験者数
180141114

とりあえず期末試験問題を公開します。 試験時間中に見つかった3つの誤りは、修正済みです。 ご迷惑をおかけしました。

採点者用の解答例の速報版を公開します。 採点用なので、全体的に要点のみさっぱりと書いてあります。 受験者はもう少ししっかりとした解答を作成してくれると嬉しいです。

  1. 期待値計算について: 大半が復習、一部は講義では触れてない内容
  2. 不等式: 講義内容と課題の確認
  3. 極限定理: 講義内容の確認、二項分布の正規近似
  4. 二変量正規分布と相関係数: 去年と同じ、相関係数は初出
  5. 三項分布: 周辺分布が二項分布と条件付き分布が二項分布で合わせて三項分布という話、講義で例示はしてない
  6. 確率分布間の関係: 図を配布済み
  7. ギリシャ文字: なぜか予告出題しても捨てる人多数な問題

昨年度は期末試験のみを実施しましたが、今年度は中間試験と期末試験を実施するので、期末試験では主に講義の後半の内容を問いました。 中間試験で失敗した人もいるかもしれないので、少し前半のことも問うています。 そのため、昨年度の過去問は必ずしも参考にはなりません。 試験問題は必ずしも、講義で示した式のみに制限する訳ではなく、既習得の内容を用いて解ける範囲から出題します。 まだ採点していませんが、過去問やノートを眺めるだけでなく、全体を通じて計算を手で追いかけておくことを勧めます。