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markovchain

markovchainパッケージは、離散状態離散時間マルコフ過程(通称は離散マルコフ過程、あるいはマルコフ連鎖)をRで扱うのに便利な機能を提供する。以下の説明は、https://cran.r-project.org/web/packages/markovchain/vignettes/an_introduction_to_markovchain_package.pdfに基づいている。

このパッケージはR 3.5.0以上を必要とする。各自でダウンロードしてインストールする必要があるかもしれない。

マルコフ解析

マルコフ過程に基づいて現象の性質を明らかにしたり、未来の時点のおける状態の確率分布を推定することなどを、マルコフ解析という。

マルコフ解析に必要なもの

マルコフ解析に必要なものは、現在の状態もしくは初期の状態と、対象の状態遷移行列である。

天気の移り変わりを例に説明を進める。

weatherStates <- c("sunny", "cloudy", "rain")
byRow <- TRUE
 weatherMatrix <- matrix(data = c(0.70, 0.2, 0.1,
 0.3, 0.4, 0.3,
 0.2, 0.45, 0.35), byrow = byRow, nrow = 3,
 dimnames = list(weatherStates, weatherStates))
mcWeather <- new("markovchain", states = weatherStates, byrow = byRow,
 transitionMatrix = weatherMatrix, name = "Weather")

markovchainのメソッド

MethodPurpose
*Direct multiplication for transition matrices.
[Direct access to the elements of the transition matrix.
==Equality operator between two transition matrices.
asOperator to convert markovchain objects into data.frame and table object.
dimDimension of the transition matrix.
namesEqual to states.
names←Change the states name.
nameGet the name of markovchain object.
name←Change the name of markovchain object.
plotplot method for markovchain objects.
printprint method for markovchain objects.
showshow method for markovchain objects.
sortsort method for markovchain objects.
statesName of the transition states.
tTransposition operator (which switches byrow slot value and modifies the transition matrix coherently).

markovchainの使い方の基本

上で定義したマルコフ連鎖を確認しておく。

weatherStates
weatherMatrix
mcWeather

さて、初期状態は曇りcloudy。

initialState = c(0, 1, 0)

二日後の天気の確率分布を求めてみる。

after2Days <- initialState * (mcWeather * mcWeather)

求めた確率分布を確認する。

after2Days

7日後の天気の条件付き確率分布を推定する。

after7Days <- initialState * (mcWeather ^ 7)

求めた確率分布を確認する。

after7Days

こんなに長い桁は必要ないので、四捨五入して小数点以下第3位まで表示してみる。

round(after7Days, 3)

状態を列ベクトルで表すなら、すべてを転地すればいい。

initialState <- c(0, 1, 0)
after2Days <- (t(mcWeather) * t(mcWeather)) * initialState
after7Days <- (t(mcWeather) ^ 7) * initialState
after2Days
fvals<-function(mchain,initialstate,n) {
out<-data.frame()
names(initialstate)<-names(mchain)
for (i in 0:n)
{
iteration<-initialstate*mchain^(i)
out<-rbind(out,iteration)
}
out<-cbind(out, i=seq(0,n))
out<-out[,c(4,1:3)]
return(out)
}
fvals(mchain=mcWeather,initialstate=c(90,5,5),n=4)

関数statesはマルコフ連鎖のオブジェクトmcWeatherの中の状態の一覧を表示させる。

states(mcWeather)

関数namesもstatesと同じ動作をする。

names(mcWeather)

関数dimは状態数を返す。

dim(mcWeather)

関数nameはマルコフ連鎖の名前を返す。これはnewで作成するときにつけている。

name(mcWeather)
markovchain:::sort(mcWeather)
transitionProbability(mcWeather, "cloudy", "rain")
mcWeather[2,3]
print(mcWeather)
show(mcWeather)
plot(mcWeather, package="diagram",box.size = 0.04)
mcDf <- as(mcWeather, "data.frame")
mcNew <- as(mcDf, "markovchain")
mcDf
mcIgraph <- as(mcWeather, "igraph")
require(msm)
Q <- rbind ( c(0, 0.25, 0, 0.25),
c(0.166, 0, 0.166, 0.166),
c(0, 0.25, 0, 0.25),
c(0, 0, 0, 0) )
cavmsm <- msm(state ~ years, subject = PTNUM, data = cav, qmatrix = Q, death = 4)
msmMc <- as(cavmsm, "markovchain")
msmMc
myMatr<-matrix(c(.1,.8,.1,.2,.6,.2,.3,.4,.3), byrow=TRUE, ncol=3)
myMc<-as(myMatr, "markovchain")
myMc

マルコフ連鎖の確率推論

MethodReturns
absorbingStatesthe absorbing states of the transition matrix, if any.
steadyStatesthe vector(s) of steady state(s) in matrix form.
communicatingClasseslist of communicating classes. sj , given actual state si.
canonicFormthe transition matrix into canonic form.
is.accessibleverification if a state j is reachable from state i.
is.irreducibleverification whether a DTMC is irreducible.
periodthe period of an irreducible DTMC.
recurrentClasseslist of recurrent classes.
steadyStatesthe vector(s) of steady state(s) in matrix form.
summaryDTMC summary.
transientStatesthe transient states of the transition matrix, if any.
conditionalDistribution(mcWeather, "sunny")
steadyStates(mcWeather)
absorbingStates(mcWeather)
summary(mcWeather)
transientStates(mcWeather)
is.accessible(object = mcWeather, from = "sunny", to = "cloudy")
period(mcWeather)
firstPassage(object = mcWeather, state = "sunny",n = 10)

マルコフ連鎖のための統計的推測

FunctionPurpose
markovchainFitFunction to return fitted Markov chain for a given sequence.
predictMethod to calculate predictions from markovchain or markovchainList objects.
rmarkovchainFunction to sample from markovchain or markovchainList objects.

状態遷移のデータがあるとする。

Alofi島の1日あたりの降雨のデータがある。

data(rain)

このデータは、2つのフィールドV1とrainを持つ。使うのは rain の方。 一日ごとの推移を集計してみる。

table(data.frame(before=rain$rain[-1], after=rain$rain[-length(rain$rain)]))

出力は次の通り。

      after
before   0 1-5  6+
   0   362 136  50
   1-5 126  90  79
   6+   60  68 124

この推移をグラフに表してみる。Gmiscパッケージの中の関数transitionPlotを使うために、準備をする。

install.packages(c("rms","sandwich","stringr","Hmisc"))
reps = c("http://ftp.sunet.se/pub/lang/CRAN","http://cran.gforge.se")
install.packages("Gmisc", repos=reps, dependencies=TRUE, type="source")

そして、使ってみる。

require(Gmisc)
transitionPlot(table(data.frame(r1=rain$rain[-1],r2=rain$rain[-length(rain$rain)])),
  overlap_add_width=1.2,type_of_arrow="gradient",
  min_lwd = unit(2, "mm"), max_lwd = unit(15, "mm"),cex=1.5)

library(dplyr)
library(stringr)
library(DiagrammeR)
library(networkD3)

この準備で頑張ると、こんなグラフも描けるらしい。

この推移から、遷移行列を推定する。

markovchainFit(rain$rain, method="mle", byrow=TRUE)

次の推定値などが表示される。

$estimate
            0       1-5        6+
0   0.6605839 0.2299270 0.1094891
1-5 0.4625850 0.3061224 0.2312925
6+  0.1976285 0.3122530 0.4901186


$standardError
             0        1-5         6+
0   0.03471952 0.02048353 0.01413498
1-5 0.03966634 0.03226814 0.02804834
6+  0.02794888 0.03513120 0.04401395

$confidenceLevel
[1] 0.95

$lowerEndpointMatrix
            0       1-5         6+
0   0.6034754 0.1962346 0.08623909
1-5 0.3973397 0.2530461 0.18515711
6+  0.1516566 0.2544673 0.41772208

$upperEndpointMatrix
            0       1-5        6+
0   0.7176925 0.2636194 0.1327390
1-5 0.5278304 0.3591988 0.2774279
6+  0.2436003 0.3700387 0.5625151

$logLikelihood
[1] -1040.419

rain.MCに代入しておく。

rain.mcfit <- markovchainFit(rain$rain, method="mle", byrow=TRUE)

返して貰った内容を見てみる。

str(rain.mcfit)

rain.MCはS3オブジェクトのリストだが、rain.MC$estimateはS4オブジェクトとややこしい。
遷移行列を行列として取り出すには、次のようにリストの名前とその中のスロットを指定する。

<code>
rain.mcfit$estimate@transitionMatrix </code>

これによって新たなマルコフ連鎖を定義するには、次のように書く。

mcrain = new("markovchain", states = rain.mcfit$estimate@states,
      byrow = TRUE,
      transitionMatrix = rain.mcfit$estimate@transitionMatrix, name = "rain")

関数markovchainFitは、markovchainオブジェクトをリストの要素として出力しているので、そちらを使うのも良い。

mcrain = rain.mcfit$estimate
rain.mcfit <- markovchainFit(rain$rain, method="laplace", laplacian=0.5, byrow=TRUE)