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| prob:2011 [2011/06/29 21:48] – [#11] watalu | prob:2011 [不明な日付] (現在) – 外部編集 (不明な日付) 127.0.0.1 | ||
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| 行 4: | 行 4: | ||
| ==== 授業計画 ==== | ==== 授業計画 ==== | ||
| - | ^回^テーマ^トピック^実施日^レポート課題^ | + | ^回^テーマ^トピック^予定日^実施日^レポート課題^ |
| - | |# | + | |# |
| - | |# | + | |# |
| - | |# | + | |# |
| - | |# | + | |# |
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| - | |# | + | |# |
| - | |# | + | |# |
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| - | |# | + | |# |
| ==== #1 2011.04.07 ==== | ==== #1 2011.04.07 ==== | ||
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| </ | </ | ||
| です。この訂正、土曜日以降、掲示もします。ご免なさい。 | です。この訂正、土曜日以降、掲示もします。ご免なさい。 | ||
| + | |||
| + | ==== #8 ==== | ||
| + | |||
| + | ==== #9 ==== | ||
| ==== #10 ==== | ==== #10 ==== | ||
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| [[http:// | [[http:// | ||
| + | |||
| + | * 2次元連続確率変数の | ||
| + | * 同時累積分布関数と同時密度関数 | ||
| + | * 周辺累積分布関数と周辺密度関数 | ||
| + | * 条件付き累積分布関数と条件付き密度関数 | ||
| [[http:// | [[http:// | ||
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| graphics.off() | graphics.off() | ||
| </ | </ | ||
| + | |||
| + | ==== #12 ==== | ||
| + | |||
| + | * 同時分布と条件付き分布と周辺分布の関係 | ||
| + | * 期待値ベクトル | ||
| + | * 分散共分散行列 | ||
| + | |||
| + | ==== #13 ==== | ||
| + | |||
| + | * 二変量正規分布 | ||
| + | * 期待値ベクトル | ||
| + | * 分散共分散行列 | ||
| + | * 相関係数 | ||
| + | * 条件付き分布 | ||
| + | * 周辺分布 | ||
| + | |||
| + | ==== #14 2011.07.14 ==== | ||
| + | |||
| + | [[http:// | ||
| + | |||
| + | * マルコフの不等式 | ||
| + | * チェビシェフの不等式 | ||
| + | * 大数の法則 | ||
| + | |||
| + | 参考書 | ||
| + | |||
| + | * 宮川雅巳(1998)「統計技法」, | ||
| + | |||
| + | === 課題4への補足 === | ||
| + | == 離散分布の共分散と相関係数 == | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | < | ||
| + | E\left[X_1\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1 p_1\left(x_1\right) | ||
| + | </ | ||
| + | と | ||
| + | < | ||
| + | E\left[X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2 p_2\left(x_2\right) | ||
| + | </ | ||
| + | と | ||
| + | < | ||
| + | E\left[X_1X_2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1 x_2 p\left(x_1, x_2\right) | ||
| + | </ | ||
| + | から、今回の参考書からの出題で証明させられる | ||
| + | < | ||
| + | Cov\left[X_1, | ||
| + | </ | ||
| + | から共分散を求めることができる。 | ||
| + | |||
| + | 相関係数を計算するにも、 | ||
| + | < | ||
| + | E\left[X_1^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_1^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 \sum_{x_2} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_1} x_1^2 p_1\left(x_1\right) | ||
| + | </ | ||
| + | と | ||
| + | < | ||
| + | E\left[X_2^2\right] = \sum_{x_1} \sum_{x_2} x_2^2 p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 \sum_{x_1} p\left(x_1, x_2\right) = \sum_{x_2} x_2^2 p_2\left(x_2\right) | ||
| + | </ | ||
| + | を用いて、周辺分散を | ||
| + | < | ||
| + | V\left[X_1\right] = E\left[X_1^2\right]-\left\{E\left[X_1\right]\right\}^2 | ||
| + | </ | ||
| + | と | ||
| + | < | ||
| + | V\left[X_2\right] = E\left[X_2^2\right]-\left\{E\left[X_2\right]\right\}^2 | ||
| + | </ | ||
| + | のように求め、これらと先に求めた共分散とを合わせて、 | ||
| + | < | ||
| + | \rho\left[X_1, | ||
| + | </ | ||
| + | を得る。この手順が一番、計算間違いしにくいんじゃないかと思う。 | ||
| + | |||
| + | == 条件付き期待値 == | ||
| + | |||
| + | 定数としての条件付き期待値と確率変数としての条件付き期待値の区別。< | ||
| + | < | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | E\left[\phi\left(X_2\right)|X_1=x_1\right]=E_{X_2|X_1}\left[\phi\left(X_2\right)|X_1=x_1\right]=\int_{x_2\in\Omega_2} \phi\left(v\right)dF_{X_2|X_1}\left(v|x_1\right) | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | 最後の積分は、連続分布の場合には、 | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | \int_{x_2\in\Omega_2} \phi\left(v\right)f_{X_2|X_1}\left(v|x_1\right)dv = \int_{x_2\in\Omega_2} \phi\left(v\right) \frac{f_{X_1, | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | と書ける。離散分布の場合にも同様に、総和記号と条件付き確率の公式(あるいはベイズの定理)を用いて、表せる。いずれにせよ、右辺に大文字は残らないので、これは定数。これを | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | \mu_\phi\left(x_1\right)=E\left[\phi\left(X_2\right)|X_1=x_1\right] | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | と置く。 | ||
| + | |||
| + | 次に、 | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | E\left[\phi\left(X_2\right)|X_1\right] | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | の方だが、手続きとしてはまず、上の< | ||
| + | これはすなわち、< | ||
| + | |||
| + | ==== #15 2011.07.21 ==== | ||
| + | |||
| + | * 中心極限定理 | ||
| + | * レポート一斉返却 | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 参考書： | ||
| + | * 清水良一(1976)「中心極限定理」, | ||
| + | * 竹内啓(1975)「確率分布の近似」, | ||
| + | * 竹内啓(1974)「統計的推定の漸近理論」, | ||
| + | * D. Williams(1991, | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==== #16 2011.07.28 ==== | ||
| + | |||
| + | 16回目なので休講。 | ||
| + | 期末試験が16週目になる。 | ||
| + | |||
| + | ==== #Exam 2011.08.04 ==== | ||
| + | |||
| + | 期末試験: | ||
| + | |||
| + | |日時|2011.08.04 0240pm-0410pm| | ||
| + | |場所|C-301| | ||
| + | |||
| + | ルール | ||
| + | |||
| + | * 通信機能を持たない電卓の持ち込みは可とする | ||
| + | * 出席をとるので学生証を持参のこと | ||
| + | * 退室の願い出は、試験開始の30分後から許可する | ||
| + | |||
| + | お願いごと | ||
| + | |||
| + | * 回答用紙は、可能な限り１ページ単位で使用してほしい | ||
| + | |||
| + | === 試験略解 === | ||
| + | |||
| + | == 問1: ポアソン分布づくし == | ||
| + | |||
| + | 今年はポアソン分布を使って、モーメントの計算、モーメント母関数、和の分布、中心極限定理について、尋ねてみました。 | ||
| + | |||
| + | - 平均も分散も< | ||
| + | - 3次のモーメントはモーメント母関数のテイラー展開の3次の項の係数 | ||
| + | - < | ||
| + | - ポアソン分布に互いに独立に従う確率変数の和の分布はポアソン分布に従うことも、モーメント母関数の積から確認できる | ||
| + | - ポアソン分布に互いに独立に従う確率変数の和を< | ||
| + | |||
| + | == 問2: 離散分布 == | ||
| + | |||
| + | 条件付き確率に関する計算と、共分散や相関係数の計算を定式化できるかどうかを、離散分布を用いて尋ねてみました。一番、計算間違いをしにくい計算手順は、たぶん次の通り。 | ||
| + | |||
| + | - 3×5の確率表ですが、条件をつけると3×3に減り、レポート課題と同じ程度の計算量になる。しかも、< | ||
| + | - 条件付き期待値を < | ||
| + | - 条件付きの二乗の期待値や積の期待値も同様に <jsm> \mu_{1,x}= \frac{5}{4}\sum_{\left|x-y\right|\leq 1} x^2 p\left(x, | ||
| + | - 条件付き共分散が < | ||
| + | - 条件付き分散が < | ||
| + | |||
| + | 確率の値、和や積分の範囲は変わるけど、期待値やモーメントの計算手順には、条件付きも条件なしも無いので。 | ||
| + | |||
| + | == 問3: 二変量正規分布 == | ||
| + | |||
| + | 二変量正規分布の周辺分布を得るのは、ベイズの定理などから | ||
| + | < | ||
| + | f\left(x_1, x_2\right)=f_{2|1}\left(x_2|x_1\right)f_1\left(x_1\right) | ||
| + | </ | ||
| + | との分解を得れば良い。< | ||
| + | |||
| + | - 周辺分布の密度関数は < | ||
| + | - 条件付き分布の密度関数は、同時密度関数を周辺密度関数で割る、ベイズの定理をそのまま使えば良い。 | ||
| + | |||
| + | == 問4: ギリシャ文字 == | ||
| + | |||
| + | １、２個間違えたぐらいで、大きく減点する気はありませんが、５，６個以上になると、予告してあった問題なのでさすがに。 | ||
| + | |||
| + | ==== 連絡 ==== | ||
| + | |||
| + | * 欠席などで受け取っていない課題レポートを回収したい人は、来週の月曜日以降、西五号館6階のエレベータを降りたところに、置いておきますので、各自でどうぞ。不要でしたら、こちらで処分しておきます。(2011.08.05 01:40pm) | ||
| + | * 期末試験は、採点用の詳解の例を作り終えたところで、まだ採点を始めていません。(2011.08.05 01:40pm) | ||
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