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prob:2013 [2013/07/11 13:54] – wataluprob:2013 [不明な日付] (現在) – 外部編集 (不明な日付) 127.0.0.1
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-とりあえず配付資料をアップロード。+とりあえず配付資料をアップロード。今年度はちゃんとしたノートになっているのは第10回目以降のみ。他については[[prob:2012|昨年度のノート]]や掲げた参考書の参照を薦める。 
 + 
 +=== 期末試験 === 
 + 
 +8月8日(木)の4限に2クラス合同で実施します。ただし「応用数学」(高橋先生)と「情報通信システム」(内海先生)の試験時間と重なるため、この二科目の履修者のみを対象に、5限から6限にかけて追加試験を実施することにしました。試験問題は本試験と追加試験は独立に作成します。 
 + 
 +追加試験の方を希望する学生は、木曜日中までに、掲示に従って連絡をお願いします。掲示は東地区の総合情報学科とシステム工学科の掲示板、西五号館一階の掲示板、にあります) 
 + 
 +=== 配付資料 ===
  
 {{:prob:prob-3-note-and-quizzes-20130425.pdf|第3回}} {{:prob:prob-3-note-and-quizzes-20130425.pdf|第3回}}
行 23: 行 31:
 {{:prob:prob-c-note-and-quizzes-20130711.pdf|第12回}}: ポアソン分布と指数分布とガンマ分布 {{:prob:prob-c-note-and-quizzes-20130711.pdf|第12回}}: ポアソン分布と指数分布とガンマ分布
  
-第13回: 正規分布+{{:prob:prob-d-note-and-quizzes-20130718.pdf|第13回}}: 正規分布 
 + 
 +{{:prob:prob-e-note-and-quizzes-20130725.pdf|第14回}}: 各種不等式と大数の法則と中心極限定理 
 + 
 +{{:prob:prob-f-note-and-quizzes-20130801.pdf|追加}}: 試験範囲の追加に関するメモ 
 + 
 +{{:prob:prob-g-final-exam-20120809-all.pdf|期末試験}}: 期末試験問題 
 + 
 +=== 確率表からの確率計算 === 
 + 
 +3つの確率変数(X, Y, Z)について、 
 + 
 +  - Xの周辺確率表 
 +  - Y|Xの条件付き確率表 
 +  - Z|Yの条件付き確率表 
 + 
 +の3つの確率表が与えられたとき、これらの確率変数に関する確率計算については 
 + 
 +  * (X, Y)の同時確率表は1.と2.から計算する 
 +  * (X, Y, Z)の同時確率表は1.と2.と3.から計算する 
 +  * Zの周辺確率は、一度、(X, Y, Z)の同時確率表を算出してからでないと計算できない 
 +  * Zを与えたときのXの条件付き確率表は、Zの値のところにだけ絞って、(X, Y, Z)の同時確率表を作るのが近道 
 +  * Zを与えたときのYの条件付き確率表も、Zの値のところにだけ絞って、(X, Y, Z)の同時確率表を作るのが近道 
 + 
 +などの助言は可能である。 
 + 
 +== 中間試験(4) == 
 +<code> 
 +1.  
 +Pr[Z=k]  
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=k|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=k|Y=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=k|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=k|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=k|Y=2] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=k|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=k|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=k|Y=3] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=k|Y=3] 
 + 
 +Pr[Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] 
 += (8/10) * (1/10) * (6/10) 
 ++ (2/10) * (6/10) * (6/10) 
 ++ (8/10) * (3/10) * (2/10) 
 ++ (2/10) * (3/10) * (2/10) 
 ++ (8/10) * (6/10) * (1/10) 
 ++ (2/10) * (1/10) * (1/10) 
 += (48+72+48+12+48+2)/1000 
 += 230/1000 
 + 
 +Pr[Z=2] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=2|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=2|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=2|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=2|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=2|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=2|Y=3] 
 += (8/10) * (1/10) * (3/10) 
 ++ (2/10) * (6/10) * (3/10) 
 ++ (8/10) * (3/10) * (6/10) 
 ++ (2/10) * (3/10) * (6/10) 
 ++ (8/10) * (6/10) * (3/10) 
 ++ (2/10) * (1/10) * (3/10) 
 += (24+36+144+36+144+6)/1000 
 += 390/1000 
 + 
 +Pr[Z=3] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=3|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=3|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=3|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=3|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=3|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=3|Y=3] 
 += (8/10) * (1/10) * (1/10) 
 ++ (2/10) * (6/10) * (1/10) 
 ++ (8/10) * (3/10) * (2/10) 
 ++ (2/10) * (3/10) * (2/10) 
 ++ (8/10) * (6/10) * (6/10) 
 ++ (2/10) * (1/10) * (6/10) 
 += (8+12+48+12+288+12)/1000 
 += 380/1000 
 + 
 +     | Z=1     | Z=2     | Z=3 
 +Prob | 23/100  | 39/100  | 38/100 
 +     | 0.23    | 0.39    | 0.38 
 + 
 +2.  
 + 
 +Pr[X=i|Z=k]  
 += Pr[X=i, Y=1|Z=k]+ Pr[X=i, Y=2|Z=k]+ Pr[X=i, Y=3|Z=k] 
 += Pr[X=i] * Pr[Y=1|X=i] * Pr[Z=k|Y=1] / Pr[Z=k] 
 ++ Pr[X=i] * Pr[Y=2|X=i] * Pr[Z=k|Y=2] / Pr[Z=k] 
 ++ Pr[X=i] * Pr[Y=3|X=i] * Pr[Z=k|Y=3] / Pr[Z=k] 
 + 
 +Pr[X=1|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (1/10) * (6/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (8/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (8/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += (48+48+48) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 144 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +Pr[X=2|Z=1] 
 += Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 += (2/10) * (6/10) * (6/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (2/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (2/10) * (1/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += (72+12+2) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 86 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +  144 / Pr[Z=1] / 1000  
 ++  86 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 
 + 
 +Z=1  | X=1      | X=2 
 +Prob | 144/230  | 86/230 
 +     | 0.626087 | 0.373913 
 + 
 +3.  
 + 
 +Pr[Y=j|Z=k]  
 += Pr[X=1, Y=j|Z=k]+ Pr[X=2, Y=j|Z=k] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=j|X=1] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=j|X=2] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] 
 + 
 +Pr[Y=1|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (1/10) * (6/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (2/10) * (6/10) * (6/10) / Pr[Z=1] 
 += (48+72) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 120 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +Pr[Y=2|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (2/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] 
 += (48+12) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 60 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +Pr[Y=3|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (2/10) * (1/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += (48+2) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 50 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +  120 / Pr[Z=1] / 1000  
 ++  60 / Pr[Z=1] / 1000 
 ++  50 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 
 + 
 +Z=1  | Y=1     | Y=2    | Y=3 
 +Prob | 120/230 | 60/230 | 50/230 
 + 
 +E[Y|Z=1] = (1*12+2*6+3*5)/23 
 +         = 39/23 
 +         = 1.695652 
 +</code> 
 + 
 +== 中間試験(5) == 
 +<code> 
 +1.  
 +Pr[Z=k]  
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=k|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=k|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=k|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=k|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=k|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=k|Y=3] 
 + 
 +Pr[Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=1|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=1|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=1|Y=3] 
 += (8/10) * (6/10) * (7/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (7/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (7/10) 
 ++ (8/10) * (3/10) * (1/10) 
 ++ (1/10) * (6/10) * (1/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (1/10) 
 ++ (8/10) * (1/10) * (1/10) 
 ++ (1/10) * (4/10) * (1/10) 
 ++ (1/10) *(10/10) * (1/10) 
 += (336+0+0+24+6+0+8+4+10)/1000 
 += 388/1000 
 + 
 +Pr[Z=2] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=2|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=2|Y=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=2|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=2|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=2|Y=2] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=2|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=2|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=2|Y=3] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=2|Y=3] 
 += (8/10) * (6/10) * (2/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (2/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (2/10) 
 ++ (8/10) * (3/10) * (7/10) 
 ++ (1/10) * (6/10) * (7/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (7/10) 
 ++ (8/10) * (1/10) * (2/10) 
 ++ (1/10) * (4/10) * (2/10) 
 ++ (1/10) *(10/10) * (2/10) 
 += (96+0+0+168+42+0+16+8+20)/1000 
 += 350/1000 
 + 
 +Pr[Z=3] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=3|Y=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=3|Y=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=3|Y=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=3|Y=2] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=3|Y=2] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=3|Y=2] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=3|Y=3] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=3|Y=3] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=3|Y=3] 
 += (8/10) * (6/10) * (1/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (1/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (1/10) 
 ++ (8/10) * (3/10) * (2/10) 
 ++ (1/10) * (6/10) * (2/10) 
 ++ (1/10) * (0/10) * (2/10) 
 ++ (8/10) * (1/10) * (7/10) 
 ++ (1/10) * (4/10) * (7/10) 
 ++ (1/10) *(10/10) * (7/10) 
 += (1000-388-350)/1000 
 += 262/1000 
 + 
 +     | Z=1      | Z=2      | Z=3 
 +Prob | 388/1000 | 350/1000 | 262/1000 
 +     | 0.388    | 0.350    | 0.262 
 + 
 +2.  
 + 
 +Pr[X=i|Z=k]  
 += Pr[X=i, Y=1|Z=k]+ Pr[X=i, Y=2|Z=k]+ Pr[X=i, Y=3|Z=k] 
 += Pr[X=i] * Pr[Y=1|X=i] * Pr[Z=k|Y=1] / Pr[Z=k] 
 ++ Pr[X=i] * Pr[Y=2|X=i] * Pr[Z=k|Y=2] / Pr[Z=k] 
 ++ Pr[X=i] * Pr[Y=3|X=i] * Pr[Z=k|Y=3] / Pr[Z=k] 
 + 
 +Pr[X=1|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (6/10) * (7/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (8/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (8/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += 336 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +Pr[X=2|Z=1] 
 += Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 += (1/10) * (3/10) * (7/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += (21+6) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 27 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +Pr[X=3|Z=1] 
 += Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 += (1/10) * (1/10) * (7/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (4/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) *(10/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += (7+4+10) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 21 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +  336 / Pr[Z=1] / 1000  
 ++  27 / Pr[Z=1] / 1000 
 ++  21 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 
 + 
 +Z=1  | X=1      | X=2       | X=3 
 +Prob | 336/384  | 27/384    | 21/384 
 +     | 0.875    | 0.0703125 | 0.0546875 
 + 
 +3.  
 + 
 +Pr[Y=j|Z=k]  
 += Pr[X=1, Y=j|Z=k]+ Pr[X=2, Y=j|Z=k] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=j|X=1] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=j|X=2] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=j|X=3] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] 
 + 
 +Pr[Y=1|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (6/10) * (7/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (0/10) * (7/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (0/10) * (7/10) / Pr[Z=1] 
 += 336 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +Pr[Y=2|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (3/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += (24+6) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 30 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +Pr[Y=3|Z=1] 
 += Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 ++ Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] 
 += (8/10) * (1/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) * (4/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 ++ (1/10) *(10/10) * (1/10) / Pr[Z=1] 
 += (8+4+10) / Pr[Z=1] / 1000 
 += 22 / Pr[Z=1] / 1000 
 + 
 +  336 / Pr[Z=1] / 1000  
 ++  30 / Pr[Z=1] / 1000 
 ++  22 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 
 + 
 +Z=1  | Y=1     | Y=2    | Y=3 
 +Prob | 336/388 | 30/336 | 22/336 
 + 
 +E[Y|Z=1] = (1*336+2*30+3*22)/336 
 +         = 462/336 
 +         = 154/112 
 +         = 77/56 
 +         = 11/8 
 +         = 1.375 
 +</code> 
 + 
 +=== 中心モーメントの求め方 === 
 +== 直接計算 == 
 + 
 +原点モーメントは、離散分布なら 
 + 
 +<jsmath> 
 +m_k=E\left[X^k\right]=\int_{-\infty}^{\infty} x^k p\left(x\right)dx 
 +</jsmath> 
 + 
 +連続分布なら 
 + 
 +<jsmath> 
 +m_k=E\left[X^k\right]=\sum_{x=-\infty}^{\infty} x^k p\left(x\right) 
 +</jsmath> 
 + 
 +で計算する。 
 + 
 +中心モーメントは、1次の中心モーメントは 
 + 
 +<jsmath> 
 +\mu=\mu_1=m_1-m_1=0 
 +</jsmath> 
 + 
 +2次の中心モーメント(分散)は 
 + 
 +<jsmath> 
 +\sigma^2=\mu_2=m_2-{m_1}^2 
 +</jsmath> 
 + 
 +3次の中心モーメントは 
 + 
 +<jsmath> 
 +\mu_3=m_3-3m_2m_1+2{m_1}^3 
 +</jsmath> 
 + 
 +など。また中心モーメントを求める際、期待値は自ら計算するにしても原点モーメントではなく 
 + 
 +<jsmath> 
 +E\left[X\left(X-1\right)\right] 
 +</jsmath> 
 + 
 +を求めて、 
 + 
 +<jsmath> 
 +\sigma^2=\mu_2=E\left[X\left(X-1\right)\right]+m_1-{m_1}^2 
 +</jsmath> 
 + 
 +とした方が都合が計算量が少なくなる確率分布もある。(幾何分布、ポアソン分布) 
 + 
 +== モーメント母関数からの計算 == 
 + 
 +<jsmath> 
 +M_X\left(t\right) = E\left[\exp\left(tX\right)\right] 
 +</jsmath> 
 + 
 +が与えられていれば、 
 + 
 +<jsmath> 
 +m_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X\left(t\right)\right|_{t=0} 
 +</jsmath> 
 + 
 +で求めることができる。代入して不定になるなら、 
 + 
 +<jsmath> 
 +m_k = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{d^k}{dt^k}M_X\left(t\right) 
 +</jsmath> 
 + 
 +をロピタルの定理を用いて求める。ロピタルの定理は 
 + 
 +<jsmath> 
 +\lim_{t\rightarrow 0}{a\left(t\right)} = \lim_{t\rightarrow 0}{b\left(t\right)} = 0 \,\, \pm \infty 
 +</jsmath> 
 + 
 +のときに、 
 + 
 +<jsmath> 
 +\lim_{t\rightarrow 0}\frac{a^\prime \left(t\right)}{b^\prime \left(t\right)}  
 +</jsmath> 
 + 
 +が有限の値に収束するなら、 
 + 
 +<jsmath> 
 +\lim_{t\rightarrow 0}\frac{a\left(t\right)}{b\left(t\right)} = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{a^\prime \left(t\right)}{b^\prime \left(t\right)}  
 +</jsmath> 
 + 
 +となる、という定理である。 
 + 
 +これで求まるのは原点モーメントなので、中心モーメントを求めるのは関係式 
 + 
 +<jsmath> 
 +\mu=\mu_1=m_1-m_1=0, \, \, \sigma^2=\mu_2=m_2-{m_1}^2, \, \, \mu_3=m_3-3m_2m_1+2{m_1}^3, \ldots 
 +</jsmath> 
 + 
 +などを用いるのは、直接計算と同様。 
 + 
 +== 他の分布からの計算 == 
 + 
 +モーメント母関数からも確認できる関係。 
 + 
 +  * 互いに独立に同一のベルヌーイ分布に従うn個の確率変数の和の分布は二項分布に従う(ベルヌーイ分布の和は二項分布) 
 +  * 互いに独立に同一の幾何分布に従うn個の確率変数の和の分布は負の二項分布に従う(幾何分布の和は負の二項分布) 
 +  * 互いに独立に同一の指数分布に従うn個の確率変数の和の分布はアーラン分布に従う(指数分布の和はアーラン分布) 
 +  * 互いに独立に相異なる正規分布に従うn個の確率変数でも、その和の分布は正規分布に従う(正規分布の和は正規分布) 
 +  * アーラン分布はガンマ分布と同等 
 +  * χ2乗分布はガンマ分布と同等 
 +  * 発生間隔が指数分布に従う事象の、一定期間の発生回数はポアソン分布に従う 
 + 
 +他にも関係はあるけど、とりあえずこれぐらい。 
 + 
 +  - 互いに独立な確率変数の和の期待値は、それぞれの期待値の和 
 +  - 互いに独立な確率変数の和の分散は、それぞれの分散の和 
 + 
 +はたたき込んでおくとよい。 
 + 
 +=== 計算の途中がない回答の取り扱い === 
 + 
 +確率表は途中の計算を掲載したら分量が足りなくなるので、途中の記載がなくても正解とした。 
 + 
 +他の問題は、課題と同じ問題で答えのみの場合、には減点してある。例えば最後の問題では 
 +<jsmath> 
 +\int_0^1 \left(xy+\frac{\left(x+y\right)}{2}+\frac{1}{4}\right) dx = y+\frac{1}{2} 
 +</jsmath> 
 +という回答は、回答を覚えていただけなのか、計算して得た答えなのかの判断がつかないので、5点中1点とした。 
 +<jsmath> 
 +\int_0^1 \left(xy+\frac{\left(x+y\right)}{2}+\frac{1}{4}\right) dx = \left[\frac{x^2y}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{2}+\frac{x}{4}\right]_{0}^{1} = \left[\frac{y}{2}+\frac{1}{4}+\frac{y}{2}+\frac{x}{4}\right]_{0}^{1} = y+\frac{1}{2} 
 +</jsmath> 
 +は、途中がひとつ抜けても5点とした。 
 + 
 +課題にはない問題であれば、途中の記載がなければ、合っていたら5点、間違っていたら0点、とした。 
 + 
 +=== 部分点の方針 === 
 + 
 +  * 最後の計算間違い: -1 
 +  * 途中の式の軽微な誤り: -2 
 +  * 頑張ったね・・・: -3 
 +  * 途中の重篤な誤り: -4 
 +  * 書いてある式から異なる: -5 
 +  * 式を書いただけ: -5
  
-第14回: 各種不等式と大数の法則と中心極限定理