とりあえず配付資料をアップロード。今年度はちゃんとしたノートになっているのは第10回目以降のみ。他については[[prob:2012|昨年度のノート]]や掲げた参考書の参照を薦める。 === 期末試験 === 8月8日(木)の4限に2クラス合同で実施します。ただし「応用数学」(高橋先生)と「情報通信システム」(内海先生)の試験時間と重なるため、この二科目の履修者のみを対象に、5限から6限にかけて追加試験を実施することにしました。試験問題は本試験と追加試験は独立に作成します。 追加試験の方を希望する学生は、木曜日中までに、掲示に従って連絡をお願いします。掲示は東地区の総合情報学科とシステム工学科の掲示板、西五号館一階の掲示板、にあります) === 配付資料 === {{:prob:prob-3-note-and-quizzes-20130425.pdf|第3回}} {{:prob:prob-4-note-and-quizzes-20130509.pdf|第4回}} {{:prob:prob-5-note-and-quizzes-20130516.pdf|第5回}} {{:prob:prob-6-note-and-quizzes-20130523.pdf|第6回}} {{:prob:prob-7-note-and-quizzes-20130530.pdf|第7回}} {{:prob:prob-8-note-and-quizzes-20130606.pdf|第8回}} {{:prob:prob-9-note-20130613.pdf|第9回}} 第10回: 中間試験 {{:prob:prob-b-note-and-quizzes-20130627.pdf|第11回}}: 二項分布と幾何分布と負の二項分布 休講（出張） {{:prob:prob-c-note-and-quizzes-20130711.pdf|第12回}}: ポアソン分布と指数分布とガンマ分布 {{:prob:prob-d-note-and-quizzes-20130718.pdf|第13回}}: 正規分布 {{:prob:prob-e-note-and-quizzes-20130725.pdf|第14回}}: 各種不等式と大数の法則と中心極限定理 {{:prob:prob-f-note-and-quizzes-20130801.pdf|追加}}: 試験範囲の追加に関するメモ {{:prob:prob-g-final-exam-20120809-all.pdf|期末試験}}: 期末試験問題 === 確率表からの確率計算 === 3つの確率変数(X, Y, Z)について、 - Xの周辺確率表 - Y|Xの条件付き確率表 - Z|Yの条件付き確率表 の3つの確率表が与えられたとき、これらの確率変数に関する確率計算については * (X, Y)の同時確率表は1.と2.から計算する * (X, Y, Z)の同時確率表は1.と2.と3.から計算する * Zの周辺確率は、一度、(X, Y, Z)の同時確率表を算出してからでないと計算できない * Zを与えたときのXの条件付き確率表は、Zの値のところにだけ絞って、(X, Y, Z)の同時確率表を作るのが近道 * Zを与えたときのYの条件付き確率表も、Zの値のところにだけ絞って、(X, Y, Z)の同時確率表を作るのが近道 などの助言は可能である。 == 中間試験(4) == 1. Pr[Z=k] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=k|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=k|Y=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=k|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=k|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=k|Y=2] + Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=k|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=k|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=k|Y=3] + Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=k|Y=3] Pr[Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] = (8/10) * (1/10) * (6/10) + (2/10) * (6/10) * (6/10) + (8/10) * (3/10) * (2/10) + (2/10) * (3/10) * (2/10) + (8/10) * (6/10) * (1/10) + (2/10) * (1/10) * (1/10) = (48+72+48+12+48+2)/1000 = 230/1000 Pr[Z=2] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=2|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=2|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=2|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=2|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=2|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=2|Y=3] = (8/10) * (1/10) * (3/10) + (2/10) * (6/10) * (3/10) + (8/10) * (3/10) * (6/10) + (2/10) * (3/10) * (6/10) + (8/10) * (6/10) * (3/10) + (2/10) * (1/10) * (3/10) = (24+36+144+36+144+6)/1000 = 390/1000 Pr[Z=3] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=3|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=3|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=3|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=3|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=3|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=3|Y=3] = (8/10) * (1/10) * (1/10) + (2/10) * (6/10) * (1/10) + (8/10) * (3/10) * (2/10) + (2/10) * (3/10) * (2/10) + (8/10) * (6/10) * (6/10) + (2/10) * (1/10) * (6/10) = (8+12+48+12+288+12)/1000 = 380/1000 | Z=1 | Z=2 | Z=3 Prob | 23/100 | 39/100 | 38/100 | 0.23 | 0.39 | 0.38 2. Pr[X=i|Z=k] = Pr[X=i, Y=1|Z=k]+ Pr[X=i, Y=2|Z=k]+ Pr[X=i, Y=3|Z=k] = Pr[X=i] * Pr[Y=1|X=i] * Pr[Z=k|Y=1] / Pr[Z=k] + Pr[X=i] * Pr[Y=2|X=i] * Pr[Z=k|Y=2] / Pr[Z=k] + Pr[X=i] * Pr[Y=3|X=i] * Pr[Z=k|Y=3] / Pr[Z=k] Pr[X=1|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] = (8/10) * (1/10) * (6/10) / Pr[Z=1] + (8/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] + (8/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = (48+48+48) / Pr[Z=1] / 1000 = 144 / Pr[Z=1] / 1000 Pr[X=2|Z=1] = Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] = (2/10) * (6/10) * (6/10) / Pr[Z=1] + (2/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] + (2/10) * (1/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = (72+12+2) / Pr[Z=1] / 1000 = 86 / Pr[Z=1] / 1000 144 / Pr[Z=1] / 1000 + 86 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 Z=1 | X=1 | X=2 Prob | 144/230 | 86/230 | 0.626087 | 0.373913 3. Pr[Y=j|Z=k] = Pr[X=1, Y=j|Z=k]+ Pr[X=2, Y=j|Z=k] = Pr[X=1] * Pr[Y=j|X=1] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] + Pr[X=2] * Pr[Y=j|X=2] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] Pr[Y=1|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] = (8/10) * (1/10) * (6/10) / Pr[Z=1] + (2/10) * (6/10) * (6/10) / Pr[Z=1] = (48+72) / Pr[Z=1] / 1000 = 120 / Pr[Z=1] / 1000 Pr[Y=2|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] = (8/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] + (2/10) * (3/10) * (2/10) / Pr[Z=1] = (48+12) / Pr[Z=1] / 1000 = 60 / Pr[Z=1] / 1000 Pr[Y=3|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] = (8/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (2/10) * (1/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = (48+2) / Pr[Z=1] / 1000 = 50 / Pr[Z=1] / 1000 120 / Pr[Z=1] / 1000 + 60 / Pr[Z=1] / 1000 + 50 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 Z=1 | Y=1 | Y=2 | Y=3 Prob | 120/230 | 60/230 | 50/230 E[Y|Z=1] = (1*12+2*6+3*5)/23 = 39/23 = 1.695652 == 中間試験(5) == 1. Pr[Z=k] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=k|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=k|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=k|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=k|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=k|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=k|Y=3] Pr[Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=1|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] + Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=1|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] + Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=1|Y=3] = (8/10) * (6/10) * (7/10) + (1/10) * (0/10) * (7/10) + (1/10) * (0/10) * (7/10) + (8/10) * (3/10) * (1/10) + (1/10) * (6/10) * (1/10) + (1/10) * (0/10) * (1/10) + (8/10) * (1/10) * (1/10) + (1/10) * (4/10) * (1/10) + (1/10) *(10/10) * (1/10) = (336+0+0+24+6+0+8+4+10)/1000 = 388/1000 Pr[Z=2] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=2|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=2|Y=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=2|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=2|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=2|Y=2] + Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=2|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=2|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=2|Y=3] + Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=2|Y=3] = (8/10) * (6/10) * (2/10) + (1/10) * (0/10) * (2/10) + (1/10) * (0/10) * (2/10) + (8/10) * (3/10) * (7/10) + (1/10) * (6/10) * (7/10) + (1/10) * (0/10) * (7/10) + (8/10) * (1/10) * (2/10) + (1/10) * (4/10) * (2/10) + (1/10) *(10/10) * (2/10) = (96+0+0+168+42+0+16+8+20)/1000 = 350/1000 Pr[Z=3] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=3|Y=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=3|Y=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=3|Y=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=3|Y=2] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=3|Y=2] + Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=3|Y=2] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=3|Y=3] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=3|Y=3] + Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=3|Y=3] = (8/10) * (6/10) * (1/10) + (1/10) * (0/10) * (1/10) + (1/10) * (0/10) * (1/10) + (8/10) * (3/10) * (2/10) + (1/10) * (6/10) * (2/10) + (1/10) * (0/10) * (2/10) + (8/10) * (1/10) * (7/10) + (1/10) * (4/10) * (7/10) + (1/10) *(10/10) * (7/10) = (1000-388-350)/1000 = 262/1000 | Z=1 | Z=2 | Z=3 Prob | 388/1000 | 350/1000 | 262/1000 | 0.388 | 0.350 | 0.262 2. Pr[X=i|Z=k] = Pr[X=i, Y=1|Z=k]+ Pr[X=i, Y=2|Z=k]+ Pr[X=i, Y=3|Z=k] = Pr[X=i] * Pr[Y=1|X=i] * Pr[Z=k|Y=1] / Pr[Z=k] + Pr[X=i] * Pr[Y=2|X=i] * Pr[Z=k|Y=2] / Pr[Z=k] + Pr[X=i] * Pr[Y=3|X=i] * Pr[Z=k|Y=3] / Pr[Z=k] Pr[X=1|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] = (8/10) * (6/10) * (7/10) / Pr[Z=1] + (8/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (8/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = 336 / Pr[Z=1] / 1000 Pr[X=2|Z=1] = Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] = (1/10) * (3/10) * (7/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = (21+6) / Pr[Z=1] / 1000 = 27 / Pr[Z=1] / 1000 Pr[X=3|Z=1] = Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] = (1/10) * (1/10) * (7/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (4/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (1/10) *(10/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = (7+4+10) / Pr[Z=1] / 1000 = 21 / Pr[Z=1] / 1000 336 / Pr[Z=1] / 1000 + 27 / Pr[Z=1] / 1000 + 21 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 Z=1 | X=1 | X=2 | X=3 Prob | 336/384 | 27/384 | 21/384 | 0.875 | 0.0703125 | 0.0546875 3. Pr[Y=j|Z=k] = Pr[X=1, Y=j|Z=k]+ Pr[X=2, Y=j|Z=k] = Pr[X=1] * Pr[Y=j|X=1] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] + Pr[X=2] * Pr[Y=j|X=2] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] + Pr[X=3] * Pr[Y=j|X=3] * Pr[Z=k|Y=j] / Pr[Z=k] Pr[Y=1|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=1|X=1] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=1|X=2] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=1|X=3] * Pr[Z=1|Y=1] / Pr[Z=1] = (8/10) * (6/10) * (7/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (0/10) * (7/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (0/10) * (7/10) / Pr[Z=1] = 336 / Pr[Z=1] / 1000 Pr[Y=2|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=2|X=1] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=2|X=2] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=2|X=3] * Pr[Z=1|Y=2] / Pr[Z=1] = (8/10) * (3/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (6/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (0/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = (24+6) / Pr[Z=1] / 1000 = 30 / Pr[Z=1] / 1000 Pr[Y=3|Z=1] = Pr[X=1] * Pr[Y=3|X=1] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] + Pr[X=2] * Pr[Y=3|X=2] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] + Pr[X=3] * Pr[Y=3|X=3] * Pr[Z=1|Y=3] / Pr[Z=1] = (8/10) * (1/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (1/10) * (4/10) * (1/10) / Pr[Z=1] + (1/10) *(10/10) * (1/10) / Pr[Z=1] = (8+4+10) / Pr[Z=1] / 1000 = 22 / Pr[Z=1] / 1000 336 / Pr[Z=1] / 1000 + 30 / Pr[Z=1] / 1000 + 22 / Pr[Z=1] / 1000 = 1 Z=1 | Y=1 | Y=2 | Y=3 Prob | 336/388 | 30/336 | 22/336 E[Y|Z=1] = (1*336+2*30+3*22)/336 = 462/336 = 154/112 = 77/56 = 11/8 = 1.375 === 中心モーメントの求め方 === == 直接計算 == 原点モーメントは、離散分布なら m_k=E\left[X^k\right]=\int_{-\infty}^{\infty} x^k p\left(x\right)dx 連続分布なら m_k=E\left[X^k\right]=\sum_{x=-\infty}^{\infty} x^k p\left(x\right) で計算する。 中心モーメントは、1次の中心モーメントは \mu=\mu_1=m_1-m_1=0 2次の中心モーメント(分散)は \sigma^2=\mu_2=m_2-{m_1}^2 3次の中心モーメントは \mu_3=m_3-3m_2m_1+2{m_1}^3 など。また中心モーメントを求める際、期待値は自ら計算するにしても原点モーメントではなく E\left[X\left(X-1\right)\right] を求めて、 \sigma^2=\mu_2=E\left[X\left(X-1\right)\right]+m_1-{m_1}^2 とした方が都合が計算量が少なくなる確率分布もある。(幾何分布、ポアソン分布) == モーメント母関数からの計算 == M_X\left(t\right) = E\left[\exp\left(tX\right)\right] が与えられていれば、 m_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X\left(t\right)\right|_{t=0} で求めることができる。代入して不定になるなら、 m_k = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{d^k}{dt^k}M_X\left(t\right) をロピタルの定理を用いて求める。ロピタルの定理は \lim_{t\rightarrow 0}{a\left(t\right)} = \lim_{t\rightarrow 0}{b\left(t\right)} = 0 \,\, \pm \infty のときに、 \lim_{t\rightarrow 0}\frac{a^\prime \left(t\right)}{b^\prime \left(t\right)} が有限の値に収束するなら、 \lim_{t\rightarrow 0}\frac{a\left(t\right)}{b\left(t\right)} = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{a^\prime \left(t\right)}{b^\prime \left(t\right)} となる、という定理である。 これで求まるのは原点モーメントなので、中心モーメントを求めるのは関係式 \mu=\mu_1=m_1-m_1=0, \, \, \sigma^2=\mu_2=m_2-{m_1}^2, \, \, \mu_3=m_3-3m_2m_1+2{m_1}^3, \ldots などを用いるのは、直接計算と同様。 == 他の分布からの計算 == モーメント母関数からも確認できる関係。 * 互いに独立に同一のベルヌーイ分布に従うn個の確率変数の和の分布は二項分布に従う(ベルヌーイ分布の和は二項分布) * 互いに独立に同一の幾何分布に従うn個の確率変数の和の分布は負の二項分布に従う(幾何分布の和は負の二項分布) * 互いに独立に同一の指数分布に従うn個の確率変数の和の分布はアーラン分布に従う(指数分布の和はアーラン分布) * 互いに独立に相異なる正規分布に従うn個の確率変数でも、その和の分布は正規分布に従う(正規分布の和は正規分布) * アーラン分布はガンマ分布と同等 * χ2乗分布はガンマ分布と同等 * 発生間隔が指数分布に従う事象の、一定期間の発生回数はポアソン分布に従う 他にも関係はあるけど、とりあえずこれぐらい。 - 互いに独立な確率変数の和の期待値は、それぞれの期待値の和 - 互いに独立な確率変数の和の分散は、それぞれの分散の和 はたたき込んでおくとよい。 === 計算の途中がない回答の取り扱い === 確率表は途中の計算を掲載したら分量が足りなくなるので、途中の記載がなくても正解とした。 他の問題は、課題と同じ問題で答えのみの場合、には減点してある。例えば最後の問題では \int_0^1 \left(xy+\frac{\left(x+y\right)}{2}+\frac{1}{4}\right) dx = y+\frac{1}{2} という回答は、回答を覚えていただけなのか、計算して得た答えなのかの判断がつかないので、5点中1点とした。 \int_0^1 \left(xy+\frac{\left(x+y\right)}{2}+\frac{1}{4}\right) dx = \left[\frac{x^2y}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{2}+\frac{x}{4}\right]_{0}^{1} = \left[\frac{y}{2}+\frac{1}{4}+\frac{y}{2}+\frac{x}{4}\right]_{0}^{1} = y+\frac{1}{2} は、途中がひとつ抜けても5点とした。 課題にはない問題であれば、途中の記載がなければ、合っていたら5点、間違っていたら0点、とした。 === 部分点の方針 === * 最後の計算間違い: -1 * 途中の式の軽微な誤り: -2 * 頑張ったね・・・: -3 * 途中の重篤な誤り: -4 * 書いてある式から異なる: -5 * 式を書いただけ: -5