Applied Statistics and Data Mining

まず楕円状に分布するデータ(n=1000)を擬似乱数を用いて生成する。

test.data <- rmvnorm(1000,mean=c(1,1),sigma=matrix(c(1,0.5,0.5,1),ncol=2))
plot(test.data)

これにk-means法をかけてみる。k-means法では、クラスタ数kは分析者が指定するものであり、ここでは2としてみる。さらに最小値を求めるために、ランダムに1000の初期値から出発(nstart=1000)して、最も適したクラスタ分けを採用するように指定してある。

test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=2, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster)

最初のグラフに色分けがついたはずで、これがクラスタである。 クラスタはデータのみから生成する層であり、これによる層別に技術的な背景はない。 クラスタ数を3, 4, 5と変えてみると、2の場合とは異なった分割が得られることが見て取れるはずである。

4枚のグラフをまとめて描くようにしてみた。

par(mfrow=c(2,2))
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=2, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=2")
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=3, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=3")
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=4, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=4")
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=5, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=5")
par(mfrow=c(1,1))

同じことを、目視でもほぼ2群に分けられそうなデータ(n=2000)でも行ってみる。

test.data <- rbind(rmvnorm(1000,mean=c(2.5,2.5),sigma=matrix(c(1,0.5,0.5,1),ncol=2)),
                   rmvnorm(1000,mean=c(-2.5,-2.5),sigma=matrix(c(1,0.5,0.5,1),ncol=2)))
plot(test.data)

そもそも別々に生成した2群のデータを結合しているので、k=2が一番自然なクラスタ分けを得る。 グラフを描かせるとやはりk=2の場合が最もらしいことが確認できる。 それでも3以上でもk-means法がクラスタを生成する。

par(mfrow=c(2,2))
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=2, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=2")
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=3, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=3")
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=4, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=4")
test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=5, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=5")
par(mfrow=c(1,1))

戯れにk=20としてみると、2つの群それぞれを、細かく群分けする様子が見て取れる。

test.kmeans <- kmeans(test.data, centers=20, nstart=1000)
print(test.kmeans)
plot(test.data, col=test.kmeans$cluster, sub="k=20")

これはベクトル量子化と呼ばれる、多次元信号(画像など)の量子化法(デジタル信号への変換)と数理的には同等である。 また個々のクラスタごとに予測モデルを構築することは、学習理論における分割統治の考え方に合致している。

この考え方をより進めると、下記のような手法に辿り着く。

• 委員会機械 (Committee Machine)
• アンサンブル学習 (Ensemble Learning)
  • ブースティング (Boosting)
  • バギング (Bagging)

k-means法は、数値変数でしか用いられないため、データは「tic.learn[, c(1:86)]」と数値変数のフィールドを指定してkmeans()関数を実行する。

tic.learn.kmeans <- kmeans(tic.learn[, c(1:86)], centers=2, nstart=1000)

k-means法の結果を適用するには、レコードごとに「centers」の座標とのユークリッド距離を算出し、一番小さくなる層にその変数を割り当てる。

date()
tic.learn$cluster <- rep(0, dim(tic.learn)[1] )
for( i in c(1:dim(tic.learn)[1]) ) {
  tic.kmeans.dist <- rep(0, max(tic.learn.kmeans$cluster) )
  for( j in c(1:max(tic.learn.kmeans$cluster)) ) {
    tic.kmeans.dist[j] <- sum( (tic.learn[i,c(1:86)]-tic.learn.kmeans$center[j,])^2 )
  }
  tic.learn$cluster[i] <- sort.list(tic.kmeans.dist)[1]
}
date()

念のため、keansの結果と比較して、計算に誤りがないことを確認するためにクロス集計を行う。この結果が対角であれば、計算はあっている。

table(tic.learn$cluster,tic.learn.kmeans$cluster)

centers=に指定する値は、いろいろ変えてみるといい。

例えばV1で層別する場合、まずその変数を集計して、何種類の値があるかを確認する。

table(tic.learn$V1)

V1は1から41の値を取ることが確認できたら、次のように、clusterという変数をtic.learn内に作り、まず0で埋める。 そして、V1の値ごとに層の値を指定するコードを書き、Rに実行させる。

tic.learn$cluster <- rep(0, dim(tic.learn)[1])
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==1] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==2] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==3] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==4] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==5] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==6] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==7] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==8] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==9] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==10] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==11] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==12] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==13] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==14] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==15] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==16] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==17] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==18] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==19] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==20] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==21] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==22] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==23] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==24] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==25] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==26] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==27] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==28] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==29] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==30] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==31] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==32] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==33] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==34] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==35] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==36] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==37] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==38] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==39] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==40] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V1==41] <- 2

最後に、0の値が残っていないかを確認するために、集計する。

table(tic.learn$cluster)

例えばV2とV4の組み合わせで、下記のように層別することを考える。

この場合も、まずその変数を集計して、何種類の値があるかを確認する。

table(tic.learn$V2, tic.learn$V4)

すべての組み合わせを書くのは煩雑なので、最初にcluster変数は3で埋めてしまう。

tic.learn$cluster <- rep(3, dim(tic.learn)[1])

clusterが1になる箇所と2になる箇所だけ、書く。

tic.learn$cluster[tic.learn$V2==1 & tic.learn$V4==1] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V2==1 & tic.learn$V4==2] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V2==1 & tic.learn$V4==3] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V2==1 & tic.learn$V4==4] <- 1
tic.learn$cluster[tic.learn$V2==2 & tic.learn$V4==1] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V2==2 & tic.learn$V4==2] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V2==2 & tic.learn$V4==3] <- 2
tic.learn$cluster[tic.learn$V2==2 & tic.learn$V4==4] <- 2

最後に、確認のために、集計する。

table(tic.learn$cluster)

層ごとに回帰分析を適用したり、決定木を適用したりする。

for( i in sort(unique(tic.learn$cluster)) ) {
  tic.learn.cluster <- tic.learn[tic.learn$cluster == i,]
  tic.working.lm <- lm(V86~V2+V3+V4, data=tic.learn.cluster)
  print(summary(tic.working.lm))
}

全体に回帰分析を行うのに較べて、残差の標準偏差 (Residual standard error) が小さくなっている層と、大きくなっている層があることを確認できるだろうか。

print(summary(lm(V86~V2+V3+V4, data=tic.learn)))

各変数に閾値を設けてルールを生成したとする。 たとえば、「V47が5.5以上かつV44が1未満」または「V47が5.5以上かつV1が{1,3,6,8,12,20}のどれか」、というルールは 次のように記す。

(tic.learn$V47>5.5 & tic.learn$V44<1) | (tic.learn$V47>5.5 & (tic.learn$V1==1 |tic.learn$V1==3 | tic.learn$V1==6 | tic.learn$V1==8 | tic.learn$V1==12 | tic.learn$V1==20) ) 

「&」が「かつ(AND)」、「|」が「または(OR)」である。

このルールを検証用データに適用するには、

tic.learn$visit <- (tic.learn$V47>5.5 & tic.learn$V44<1) | (tic.learn$V47>5.5 & (tic.learn$V1==1 |tic.learn$V1==3 | tic.learn$V1==6 | tic.learn$V1==8 | tic.learn$V1==12 | tic.learn$V1==20) ) 

と、訪問するか否かを二値(TRUE, FALSE)で表すオブジェクトを生成する。 このモデルに予測に基づいた訪問の成果を検証するには、訪問対象のリストtic.learnvisit) table(tic.learn$visit, tic.learn$V86) </code>

参考までに、上の訪問ルールを評価用のデータtic.evalに適用した場合、次のようになる。

table(tic.eval$visit)
FALSE  TRUE 
 3029   971 

table(tic.eval$visit, tic.eval$V86)
tic.eval.visit    0    1
         FALSE 2878  151
         TRUE   884   87

ここでは、訪問対象に884+87=971人を選定し、そのうちの87人が実際に契約してくれる人だったことになる。 契約率は87/971=8.96%。また誤判別率は

(884+151)/4000

で25.9%となる。

学習したモデルに基づいて、訪問対象を狭めるには、predict()という関数を用いて、訪問対象か否かというリストを作成する。 まず、設定まで調整したモデルを、学習用データ(tic.learn)から得る。

tic.rpart <- rpart(V86~., data=tic.learn, control=c(cp=0.005))

次に、このモデル(ここではtic.rpart)を、そのまま学習用データ(tic.learn)に適用して、契約してくれるか否かの予測を行う。 この際、下に記した0.05という閾値は調整(増やしたり減らしたり)が必要かもしれない。

tic.learn$visit <- predict(tic.rpart, newdata=tic.learn)[,2]>0.05

このモデルに予測に基づいた訪問の成果を検証するには、訪問対象のリストtic.visitと検証用データの正解V86のクロス集計を行えばよい。

table(tic.learn$visit)
table(tic.learn$visit, tic.learn$V86

参考までに、評価用データに適用した場合は、次のようになる。

tic.eval$visit <- predict(tic.rpart, newdata=tic.eval)[,2]>0.05

table(tic.eval$visit)

tic.eval$visit 
FALSE  TRUE
 2389  1611

table(tic.eval$visit, tic.eval$V86)

tic.eval$visit    0    1
         FALSE 2310   79
         TRUE  1452  159

ここでは、訪問対象に1452+159=1611人を選定し、そのうちの159人が実際に契約してくれる人だったことになる。契約率は159/1452=11.0%。 また誤判別率は

(79+1452)/4000

で38.275%となる。